Hva er halvvinkelidentitetene?

Halvvinkelidentitetene er definert som følger:

# mathbf (sin (x / 2) = pmsqrt ((1-cosx) / 2)) #

#(+)# for kvadranter Jeg og II

#(-)# for kvadranter III og IV

# mathbf (cos (x / 2) = pmsqrt ((1 + cosx) / 2)) #

#(+)# for kvadranter Jeg og IV

#(-)# for kvadranter II og III

# mathbf (tan (x / 2) = pmsqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)))) #

#(+)# for kvadranter Jeg og III

#(-)# for kvadranter II og IV

Vi kan utlede dem fra følgende identiteter:

# sin ^ 2x = (1-cos (2x)) / 2 #

# sin ^ 2 (x / 2) = (1-cos (x)) / 2 #

#color (blå) (sin (x / 2) = pmsqrt ((1-cos (x)) / 2)) #

Å vite hvordan # Sinx # er positivt for #0-180^@# og negativt for #180-360^@#, vi vet at det er positivt for kvadranter Jeg og II og negativt for III og IV.

# cos ^ 2x = (1 + cos (2x)) / 2 #

# cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cos (x)) / 2 #

#color (blå) (cos (x / 2) = pmsqrt ((1 + cos (x)) / 2)) #

Å vite hvordan # Cosx # er positivt for #0-90^@# og #270-360^@#, og negativt for #90-270^@#, vi vet at det er positivt for kvadranter Jeg og IV og negativt for II og III.

# (xs2) = sin (x / 2) / (cos (x / 2)) = (pmsqrt ((1-cos (x)) / 2)) / 2)) #

#color (blå) (tan (x / 2) = pmsqrt ((1-cos (x)) / (1 + cos (x)))))

Vi kan se det hvis vi tar betingelsene for positive og negative verdier fra # Sinx # og # Cosx # og dele dem, får vi at dette er positivt for kvadranter Jeg og III og negativt for II og IV.