Hva er grensen når x nærmer seg uendelig av (1 + a / x) ^ (bx)?

Ved å bruke logaritme og l'Hopital's Rule, #lim_ {x til infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab} #.

Ved å bruke substitusjonen # T = a / x # eller tilsvarende # X = a / t #, # (1 + a / x) ^ {bx} = (1 + t) ^ {{ab} / t} #

Ved å bruke logaritmiske egenskaper,

# = e ^ {ln (1 + t) ^ {{ab} / t}} = e ^ {{ab} / t ln (1 + t)} = e ^ {ab {ln (1 + t) } / t} #

Ved l'Hopital's Rule, #lim_ {t til 0} {ln (1 + t)} / {t} = lim_ {t til 0} {1 / {1 + t}} / {1} = 1 #

Derfor

#lim_ {x til infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab lim_ {t til 0} {ln (1 + t)} / {t}} = e ^ {ab} #

(Merk: #t til 0 # som #x til infty #)