Hvordan forenkler du root3 (1)?

Svar:

#1# eller #1^(1/3)# =#1#

Forklaring:

Den kubte roten på 1 er den samme som å øke 1 til kraften til #1/3#. 1 til kraften til noe er fortsatt 1.

Svar:

Arbeide i realene vi får #root 3 {1} = 1 #.

Hvert ikke-komplekst tall har tre kube-røtter, så der

#root 3 {1} = 1 eller -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #

Forklaring:

Hvis vi jobber i ekte tall, merker vi bare #root 3 {1} = root 3 {1 ^ 3} = 1 #. Jeg kommer til å anta at dette handler om komplekse tall.

En av de merkelige tingene vi finner ut når vi dykker inn i komplekse tall, er at funksjonen #f (z) = e ^ {z} # er periodisk. Eksponentiell vekst er liksom det motsatte av periodiske, så dette er en overraskelse.

Nøkkelfaktoren er Euler's Identity squared. Jeg kaller det Eulers sanne identitet.

# e ^ {2 pi i} = 1 #

Eulers True Identity viser # E ^ z # er periodisk med periode # 2pi jeg #:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f (z)

Vi kan øke Euler's True Identity til noe heltall # K #:

# e ^ {2 pi k i} = 1 #

Hva har alt dette å gjøre med kubusroten til en? Det er nøkkelen. Det forteller at det er et uendelig antall måter å skrive en på. Noen av dem har forskjellige terningrøtter enn andre. Det er derfor ikke-heltall eksponenter gir opphav til flere verdier.

Det er alt en stor windup. Vanligvis starter jeg bare disse ved å skrive:

# e ^ {2pi k i} = 1 quad # for heltall # K #

#root 3 {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos / 3) + jeg synd (2pi k / 3) #

Det siste trinnet er selvfølgelig Eulers formel # e ^ {i theta} = cos theta + i sin theta. #

Siden vi har # 2pi # periodicitet av trig-funksjonene (som følger av periodiciteten av eksponensialet og Euler's formel) har vi bare unike verdier for tre påfølgende # K #s. La oss evaluere dette for # K = 0,1, -1 #:

# K #=0# quad quad cos ({2pi k} / 3) + jeg synd ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

# K #=1# quad quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

# K #=-1# quad quad cos (- {2pi} / 3) + jeg synd (- {2pi} / 3) = -1/2 - i sqrt {3} / 2 #

Så vi får tre verdier for kubens rot av en:

#root 3 {1} = 1 eller -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #