Hva er cos [sin ^ (- 1) (- 1/2) + cos ^ (- 1) (5/13)]?

Svar:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Forklaring:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) #

# = Cos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = Cos cos ^ (- 1) (5/13) -cos ^ (- 1) (sqrt3 / 2) #

Nå bruker du #cos ^ (- 1) x-cos ^ (- 1) y = xy + SQRT ((1-x ^ 2) * (1-y ^ 2)) #, vi får,

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = Cos (^ cos (- 1) (5/13 * sqrt3 / 2 + sqrt ((1- (5/13) ^ 2) * (1- (sqrt (3) / 2) ^ 2)))) #

# = (5sqrt3) / 26 + 12/26 #

# = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Svar:

Ved summen vinkel formel som er

# cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) synd (arccos (5/13)) #

# = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

# = pm {5 sqrt {3}} / 6 pm 6/13 #

Forklaring:

#x = cos (arcsin (-1/2) + arccos (5/13)) #

Disse spørsmålene er forvirrende nok med den funky inverse funksjonen notasjonen. Det virkelige problemet med slike spørsmål er at det er generelt best å behandle de inverse funksjonene som multivalued, noe som kan bety at uttrykket har flere verdier også.

Vi kan også se på verdien av # X # for hovedverdien til de inverse funksjonene, men jeg lar det gå til andre.

Uansett, dette er cosinusen av summen av to vinkler, og det betyr at vi bruker summevinkelformelen:

#cos (a + b) = cos a cos b - sin en synd b #

# x = cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) synd (arccos (5/13)) #

Cosine av inverse cosinus og sinus av inverse sinus er enkle. Cosinus av inverse sinus og sinus av invers cosinus er også rettferdig, men det er der det multivalued problemet kommer inn.

Det vil vanligvis være to ikke-coterminale vinkler som deler en gitt cosinus, negasjoner av hverandre, hvis sines vil være negasjoner av hverandre. Det vil vanligvis være to ikke-coterminale vinkler som deler en gitt sinus, tilleggsvinkler, som vil ha kosiner som er negasjoner av hverandre. Så begge veier vi opp med a # Pm #. Vår ligning vil ha to # Pm # og det er viktig å merke seg at de er uavhengige, uten tilknytning.

La oss ta #arcsin (-1/2) # først. Dette er selvsagt en av trig's cliches, # -30 ^ Krets # eller # -150 ^ Krets #. Kosinusene vil være # + sqrt {3} / 2 # og # - sqrt {3} / 2 # henholdsvis.

Vi trenger egentlig ikke å vurdere vinkelen. Vi kan tenke på den rette trekanten med motsatt 1 og hypotenuse 2 og komme opp med tilstøtende # Sqrt {3} # og cosinus # pm sqrt {3} / 2 #. Eller hvis det er for mye å tenke, siden # cos ^ 2theta + sin ^ 2 theta = 1 # deretter #cos (theta) = pm sqrt {1 - sin ^ 2 theta} # som mekanisk lar oss si:

# cos (arcsin (-1/2)) = pm sqrt {1 - (-1/2) ^ 2} = pm sqrt {3} / 2 #

På samme måte, #5,12,13# er Pythagorean Triple ansatt her så

#sin (arccos (5/3)) = pm sqrt {1 - (5/13) ^ 2} = pm 12/13 #

# x = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

#x = pm {5 sqrt {3}} / 6 pm 6/13 #