Hva er Taylor-serien f (x) = arctan (x)?

#f (x) = sum_ {n = 1} ^ Infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

La oss se på noen detaljer.

#f (x) = arctanx #

#f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} #

Husk at den geometriske kraftserien

# 1 / {1-x} = sum_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

ved å erstatte # X # av # -X ^ 2 #, #Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Så, #f '(x) = sum_ {n = 0} ^ Infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Ved å integrere, #f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

ved å sette integralskiltet inn i summeringen, # = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

av Power Rule, # = Sum_ {n = 1} ^ Infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C #

Siden #f (0) = arctan (0) = 0 #, #f (0) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {(0) ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C Høyreve C = 0 #

Derfor

#f (x) = sum_ {n = 1} ^ Infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

Hva er cos (arctan (3)) + synd (arctan (4)) lik?

Cos (arctan (3)) + synd (arctan (4)) = 1 / sqrt (10) + 4 / sqrt (17) La tan ^ -1 (3) = x så rarrtanx = 3 rarrsecx = sqrt ^ 2x) = sqrt (1 + 3 ^ 2) = sqrt (10) rarrcosx = 1 / sqrt (10) rarrx = cos ^ (- 1) (1 / sqrt (10)) = tan ^ (- 1) ) La også tan ^ (- 1) (4) = y da rarrtany = 4 rarrcoty = 1/4 rarrcscy = sqrt (1 + cot ^ 2y) = sqrt (1+ (1/4) ^ 2) = sqrt 17) / 4 rarrsiny = 4 / sqrt (17) rarry = sin ^ (- 1) (4 / sqrt (17)) = tan ^ (- 1) 4 Nå er rarrcos (tan ^ (- 1) (3)) + sin (tan ^ (- 1) tan (4)) rarrcos (cos ^ -1 (1 / sqrt (10))) + sin sqrt (10) + 4 / sqrt (17)

Hva er en Taylor-utvidelse av e ^ (- 2x) sentrert ved x = 0?

E ^ (- 2 x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4. .. Saken av en taylor-serie utvidet rundt 0 kalles en Maclaurin-serie. Den generelle formelen for en Maclaurin-serie er: f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) X ^ n For å utarbeide en serie for vår funksjon kan vi starte med en funksjon for e ^ x og bruk deretter det for å finne ut en formel for e ^ (- 2x). For å konstruere Maclaurin-serien må vi finne ut det nte derivatet av e ^ x. Hvis vi tar noen derivater, kan vi ganske raskt se et mønster: f (x) = e ^ x f '(x) = e ^ x f' '(x) = e

Hva er Taylor-regelen med hensyn til likevektsrealrenten?

Taylor-regelen innebærer indirekte likevektsrealrenten ved å spesifisere en mål nominell rente. Taylor-regelen ble utviklet av Stanford-økonomen John Taylor, først for å beskrive og senere å anbefale en mål nominell rente for Federal Funds Rate (eller for en annen målrente valgt av en sentralbank). Målrente = Nøytral rente + 0,5 × (BNp - BNt) + 0,5 × (Ie - Det) Hvor, Målrente er kortsiktig rentesats som sentralbanken bør målrette; Nøkkelrente er den kortsiktige renten som råder når forskjellen mellom den faktiske inflasjonsinfluk