Hvordan integrerer du f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) ved hjelp av partielle fraksjoner?

Svar:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #

Forklaring:

Siden nevneren allerede er innført, er alt vi trenger for å gjøre partielle fraksjoner løs for konstanter:

# (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (X-7)) = (ax + b) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) #

Legg merke til at vi trenger både en # X # og en konstant sikt på venstre del av brøkdel fordi telleren alltid er 1 grad lavere enn nevneren.

Vi kunne multiplisere gjennom den venstre side nevner, men det ville være en stor mengde arbeid, slik at vi i stedet kan være klare og bruke dekningsmetoden.

Jeg vil ikke gå over prosessen i detalj, men i det vesentlige hva vi gjør er å finne ut hva som gjør nevnen til null (i tilfelle av # C # Det er # X = 3 #), og plugge den inn i venstre side og evaluere mens dekker opp faktor som tilsvarer konstanten gir dette:

# C = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (tekst (////)) (3-7)) = - 6/11 #

Vi kan gjøre det samme for # D #:

# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (tekst (////))) = 35/51 #

Omslagsmetoden fungerer bare for lineære faktorer, så vi er tvunget til å løse for #EN# og # B # ved hjelp av den tradisjonelle metoden og multipliserer gjennom ved venstre side nevner:

# 3x ^ 2-x = (ax + b) (x-3) (X-7) -6/11 (x ^ 2 + 2) (x-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) (x-3) #

Hvis vi multipliserer gjennom alle parentesene og likestiller alle koeffisientene til de forskjellige # X # og konstante vilkår, kan vi finne ut verdiene til #EN# og # B #. Det er en ganske lang beregning, så jeg vil bare legge igjen en lenke for den som er interessert:

Klikk her

# A = -79 / 561 #

# B = -94 / 561 #

Dette gir at vårt integral er:

(x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)) dx #

De to første kan løses ved hjelp av ganske enkle u-substitusjoner av denominatorene:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Vi kan dele det gjenværende integralet i to:

(xx2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) dx + int 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Jeg vil ringe til venstre Integral 1 og den rette Integral 2.

Integral 1

Vi kan løse dette integralet ved en u-substitusjon av # U = x ^ 2 + 2 #. Derivatet er # 2x #, så vi deler med # 2x # å integrere med hensyn til # U #:

# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int avbryt (x) / (2cancel (x) u) du = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u | + C = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + C #

Integral 2

Vi ønsker å få dette integrert i skjemaet for # Tan ^ -1 #:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Hvis vi introduserer en substitusjon med # X = sqrt2u #, vil vi kunne forvandle integralet til dette skjemaet. Å integrere med hensyn til # U #, må vi multiplisere med # Sqrt2 # (siden vi tok derivatet med respekt for # U # i stedet for # X #):

# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du = #

# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 47sqrt2tan ^ -1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #

Fullfører den originale integralen

Nå som vi vet hva Integral 1 og Integral 2 er like, kan vi fullføre det opprinnelige integralet for å få vårt endelige svar:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #