Kan noen hjelpe til med å løse problemet?

Svar:

Prøv endringen # x = tan u #

Se nedenfor

Forklaring:

Vi vet det # 1 + tan ^ 2 u = sec ^ 2u #

Ved den foreslåtte forandringen har vi

# dx = sec ^ 2u du #. Lar erstatte i integralet

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = Sinu + C #

Dermed unngår du endringen:

# U = arctanx # og til slutt har vi

#sin du + C = sin (arctanx) + C #

Svar:

#COLOR (blå) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

Forklaring:

La oss prøve å bruke Trigonometrisk Substitusjon for å løse dette integralet. For å gjøre dette skal vi konstruere en rettvinkeltrekant # Del ABC # og merk sidene på en slik måte at ved hjelp av Pythagoras formel kan vi utlede uttrykkene vi ser for øyeblikket i integras argumentet som følger:

Angle # / _ B = theta # har motsatt side # X # og tilstøtende side #1#. Bruke Pythagoras 'formel:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # resulterer i:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # som vist.

La oss nå skrive de tre mest grunnleggende trigonometriske funksjonene for # Theta #:

# Sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) #

# Costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# Tantheta = x / 1 = x #

Nå må vi bruke disse ligningene til å løse ulike deler av integralargumentet i trigonometriske termer. La oss bruke # Tantheta #:

# Tantheta = x #

La oss ta derivater fra begge sider:

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

Fra # Costheta # ligning, kan vi løse for #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

Hvis vi øker begge sider av denne ligningen til kraften til #3# vi får:

# Sek ^ 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

Nå kan vi erstatte det vi har beregnet til problemintegralet for å gjøre det til et trigonometrisk integral:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (sec ^ 2thetadtheta) / sec ^ 3theta = intsec ^ 2theta / (sekretasec ^ 2theta) d theta = intcancelcolor (rød) / sektethet (rødt) (sek ^ 2theta)) d theta = int1 / sekterad theta = int1 / (1 / costheta) d theta = intetostettheta = sintheta + C #

Nå kan vi erstatte tilbake for # Sintheta # og snu vårt svar tilbake til et algebraisk uttrykk når det gjelder # X #:

#COLOR (blå) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #