Bevis at det lilla skyggelagte området er lik området for den parallelle trekanten (gul stripet sirkel)?

Svar:

Forklaring:

Området av inkirkelen er # Pir ^ 2 #.

Noterer den riktige trekanten med hypotenuse # R # og ben # R # ved foten av den liksidige trekant, gjennom trigonometri eller egenskapene til #30 -60 -90 # høyre trekanter vi kan etablere forholdet som # R = 2r #.

Legg merke til at vinkelen motsatt # R # er #30 # siden den liksidige trekantens #60 # vinkelen ble bisected.

Denne samme trekant kan løses gjennom Pythagoreas teorem for å vise at halvparten av sidelengden til den like-sidige trekant er #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

Nå ser vi halvparten av den like-sidige trekant som en høyre trekant, vi ser at høyden # H # av den liksidige trekant kan løses i forhold til # R # bruker forholdet #tan (60) = h / (rsqrt3) #. Siden #tan (60) = sqrt3 #, blir dette # H / (rsqrt3) = sqrt3 # så # H = 3r #.

Arealet av den like-sidige trekant er da # 1 / 2BH #, og dens base er # 2rsqrt3 # og dens høyde # 3r #. Dermed er området sitt # 1/2 (2rsqrt3) (3R) = 3r ^ 2sqrt3 #.

Arealet av den mindre skyggelagte regionen er lik en tredjedel av arealet av den liksidige trekant minus inkirkelen, eller # 1/3 (3r ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # som tilsvarer # R ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) #.

Området til den større sirkelen er # Pir ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = ^ 2 # 4pir.

Området for den større skyggelagte regionen er en tredjedel av områdets større sirkel minus arealet av den like-sidige trekant, eller # 1/3 (4pir ^ 2-3r ^ 2sqrt3) # som forenkler å være # R ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) #.

Det totale arealet av det skyggede området er da # R ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) + r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) = r ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-pi + 4pi) / 3) = r ^ 2 ((3n) / 3) = pir ^ 2 #, som er ekvivalent med incircles område.

Svar:

Forklaring:

For en like-sidig trekant tyngdepunkt, sentrum av circumcircle og orthocenter sammenfallende.

Så Radius av cicumcircle (R) og radius av incircle (r) vil ha følgende forhold

#R: r = 2: 1 => R = 2r #

Nå fra figuren er det åpenbart at område av den store lilla skyggelagte regionen# = Tredjedel (PIR ^ 2-Delta) #

Og område av den lille, lilla, skyggelagte regionen# = Tredjedel (Delta-pir ^ 2) #

hvor # Delte # representerer arealet av den liksidige trekant.

Så

#color (lilla) ("TOTALT område av BIG og SMALL lilla skyggelagt region" #

# = Tredjedel (PIR ^ 2-Delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2) #

# = Tredjedel (PIR ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-pir ^ 2) #

Sette inn R = 2r

# = Tredjedel (pi (2r) ^ 2-pir ^ 2) #

# = Tredjedel (4pir ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> farge (oransje) "område med gul stripet sirkel" #