Finn verdiene til x for hvilken følgende serie er konvergent?

Svar:

#1<>

Forklaring:

Når du prøver å bestemme radius og / eller konvergensintervall for kraftserier som disse, er det best å bruke Ratio Test, som forteller oss om en serie # Suma_n #, la vi

# L = lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | #.

Hvis #L <1 # serien er helt konvergent (og dermed konvergent)

Hvis #L> 1 #, serier avviker.

Hvis # L = 1, # Ratio-testen er ufullstendig.

For Power Series er det imidlertid mulig å tre tilfeller

en. Kraftserien konvergerer for alle reelle tall; dens konvergensintervall er # (- oo, oo) #

b. Kraftserien konvergerer for noe nummer # x = a; # dens konvergensradius er null.

c. Den hyppigste saken, konvergerer kraftserien for # | X-a |<> med et konvergensintervall på # A-R

# | 2x-3 | lim_ (n-> oo) 1 = | 2x-3 | #

Så hvis # | 2x-3 | <1 #, konvergerer serien. Men vi trenger dette i skjemaet # | X-a |<>

# | 2 (x-3/2) | <1 #

# 2 | x-3/2 | <1 #

# | X-3/2 | <1/2 # resulterer i konvergens. Konvergensradius er # R = 1/2 #

La oss nå bestemme intervallet:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

Vi må plugge # x = 1, x = 2 # inn i den opprinnelige serien for å se om vi har konvergens eller divergens på disse endepunktene.

# x = 1: sum_ (n = 0) ^ oo (2 (1) -3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ o (-1) ^ n # divergerer, summand har ingen grense og absolutt ikke går til null, det veksler bare tegn.

# x = 2: sum_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo1 # avviker også ved avvikstesten, #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

Derfor konvergerer serien for #1<>

Vi kan bruke forholdstesten som sier at hvis vi har en serie

#sum_ (n = 0) ^ ooa_n #

det er definitivt konvergent hvis:

#lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | <1 #

I vårt tilfelle, # A_n = (2x-3) ^ n #, så vi sjekker grensen:

#lim_ (n-> oo) | (2x-3) ^ (n + 1) / (2x-3) ^ n | = lim_ (n-> oo) | ((2x-3) avbryt ((2x-3) ^ n)) / avbryt ((2x-3) ^ n) | = #

# = Lim_ (n-> oo) | 2x-3 | = 2x-3 #

Så, vi må sjekke når # | 2x-3 | # er mindre enn #1#:

Jeg har gjort en feil her, men svaret ovenfor har samme metode og et riktig svar, så ta en titt på det i stedet.