Svar:
Forklaring:
U_1, u_2, u_3, ... er i geometrisk progresjon (GP) .Det vanlige forholdet mellom betingelsene i serien er K.Nå bestemmer summen av serien u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) i form av K og u_1?
Sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n)) / (1-K ^ 2) Den generelle termen for en geometrisk progresjon kan skrives: a_k = ar ^ (k-1) hvor a er den opprinnelige termen og r det fellesforholdet. Summen til n-vilkårene er gitt ved formelen: s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) farge (hvit) () Med informasjonen gitt i spørsmålet, kan den generelle formelen for u_k være skrevet: u_k = u_1 K ^ (k-1) Merk at: u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) Så: sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) farge (hvit) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ +1)) = sum_ (k =
Er serien angitt helt konvergent, betinget konvergent eller divergerende? rarr 4-1 + 1 / 4-1 / 16 + 1/64 ...
Den konvergerer helt. Bruk testen for absolutt konvergens. Hvis vi tar absoluttverdien av betingelsene, får vi serien 4 + 1 + 1/4 + 1/16 + ... Dette er en geometrisk serie fellesforhold 1/4. Dermed er det konvergerer. Siden begge | a_n | Konvergerer en konvergerer helt. Forhåpentligvis hjelper dette!
Er sekvensen a_n = (1 + 3 / n) ^ (4n) konvergent eller divergerende?
"Se forklaring" a_n = ((1 + 3 / n) ^ 4) ^ n = ((1 + 3 / n) ^ 2) ^ 2) ^ n = ((1 + 6 / n + 9 / n ^ 2) ^ 2) ^ n = (1 + 36 / n ^ 2 + 81 / n ^ 4 + 12 / n + 18 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3) ^ n = (1 + 12 / n + 54 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3 + 81 / n ^ 4) ^ n "Merk at du lettere kan bruke Euler grense her:" lim_ {n-> oo} (1 + 1 / n) ^ n = e = 2,7182818 .... => lim_ {n-> oo} (1 + 3 / n) ^ (12 * n / 3) = e ^ 12 = 162754.79 .... "Så sekvensen vokser veldig stor, men ikke uendelig stor, så det "" konvergerer. "