Vennligst hjelp meg med dette, hvordan gjør du det?

Svar:

# k = 3 #

Forklaring:

Bruke egenskapene til eksponenter som # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # og # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, vi har

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1 ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3k) * 3 ^ k #

Og dermed #13!# er delelig med # 24 ^ k # hvis og bare hvis #13!# er delelig med # 2 ^ (3k) # og er delelig med # 3 ^ k #.

Vi kan fortelle den største kraften i #2# ved hvilken #13!# er delelig med hvis vi ser på dens faktorer som er delbare av #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

Som ingen av de ulike faktorene bidrar noen faktorer til #2#, vi har

#1. 3! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

hvor # M # er noe heltall ikke delbart av #2#. Som sådan vet vi det #13!# er delelig med # 2 ^ (3k) # hvis og bare hvis #2^10# er delelig med # 2 ^ (3k) #, betyr # 3k <= 10 #. Som # K # er et heltall, dette betyr # k <= 3 #.

Deretter kan vi se på hvilke faktorer av #13!# er delbare av #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

Som ingen andre faktorer #13!# bidra med noen faktorer av #3#, Dette betyr

#1. 3! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

hvor # N # er noe heltall ikke delbart av #3#. Som sådan vet vi det #3^5# er delelig med # 3 ^ k #, betyr # k <= 5 #.

Det største nonnegative heltallet tilfredsstiller begrensningene #k <= 3 # og #k <= 5 # er #3#, gir oss vårt svar på # K = 3 #.

En kalkulator vil bekrefte det #(13!)/24^3 = 450450#, mens #(13!)/24^4=18768.75#