Hva er f (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx hvis f (pi / 6) = 1?

Svar:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2 sek ^ 2 (x) -cos (x) '+ 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Forklaring:

Vi begynner med å dele integralet i tre:

#int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx + int sin (x) dx = #

# = int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx-cos (x) #

Jeg vil ringe til venstre integrert Integral 1 og den rette Integral 2

Integral 1

Her trenger vi integrering av deler og et lite triks. Formelen for integrasjon av deler er:

(x) g (x) dx # (x) g (x) -int f '

I dette tilfellet vil jeg la #f (x) = e ^ x # og #G '(x) = cos (x) #. Vi får det

#f '(x) = e ^ x # og #G (x) = sin (x) #.

Dette gjør vårt integral:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) dx #

Nå kan vi søke integrering av deler igjen, men denne gangen med #G '(x) = sin (x) #:

(x) (x) - (- e ^ xcos (x) - (- int e ^ xcos (x) dx)) #int xxcos

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) dx #

Nå kan vi legge til integralet til begge sider, og gi:

# 2int xxcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

(x) x x (x) + e x xcos (x)) + C = #

# = E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) + C #

Integral 2

Vi kan først bruke identiteten:

#tan (theta) = sin (theta) / cos (theta) #

Dette gir:

#int tan ^ 3 (x) dx = int sin ^ 3 (x) / cos ^ 3 (x) dx = int (sin (x) sin ^ 2 (x)) / cos ^ 3) dx #

Nå kan vi bruke den pythagoranske identiteten:

# Sin ^ 2 (theta) = 1-cos ^ 2 (theta) #

#int (sin (x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x) dx #

Nå kan vi introdusere en u-substitusjon med # U = cos (x) #. Vi deler deretter med derivatet, # -Sin (x) # å integrere med hensyn til # U #:

# -int (avbryt (sin (x)) (1-cos ^ 2 (x))) / (avbryt (sin (x)) cos ^ 3 (x)) du = 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du = #

1 = (2u ^ 2) + C = ln | cos (x) | + 1 / (2cos ^ 2 (x)) + C #

Fullfører den originale integralen

Nå som vi kjenner Integral 1 og Integral 2, kan vi koble dem tilbake til det opprinnelige integralet og forenkle for å få det endelige svaret:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2 sek ^ 2 (x) -cos (x) + C #

Nå som vi kjenner det antiderivative, kan vi løse for konstanten:

#f (pi / 6) = 1 #

# E ^ (pi / 6) / 2 (sin (pi / 6) + cos (pi / 6)) - ln | cos (pi / 6) | -1 / 2 sek ^ 2 (pi / 6) -cos (pi / 6) + C = 1 #

# -2/3-sqrt (3) / 2 + 1/2 (1/2 + sqrt (3) / 2) e ^ (pi / 6) -lN (sqrt (3) / 2) + C = 1 #

# C = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

# C = 5. / 3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Dette gir at vår funksjon er:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2 sek ^ 2 (x) -cos (x) '+ 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #