Hva er extrema og sadelpunktene for f (x, y) = 6 sin x sin y på intervallet x, y i [-pi, pi]?

Svar:

# X = pi / 2 # og # Y = pi #

# X = pi / 2 # og # Y = -pi #

# X = -pi / 2 # og # Y = pi #

# X = -pi / 2 # og # Y = -pi #

# X = pi # og # Y = pi / 2 #

# X = pi # og # Y = -pi / 2 #

# X = -pi # og # Y = pi / 2 #

# X = -pi # og # Y = -pi / 2 #

Forklaring:

Å finne de kritiske punktene i a #2#-variabel funksjon, må du beregne gradienten, som er en vektor som samler derivatene med hensyn til hver variabel:

# (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) #

Så har vi

# d / dx f (x, y) = 6cos (x) sin (y) #, og lignende

# d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y) #.

For å finne de kritiske punktene må gradienten være nullvektoren #(0,0)#, som betyr å løse systemet

# {(6cos (x) sin (y) = 0), (6sin (x) cos (y) = 0):} #

som selvfølgelig kan vi forenkle å bli kvitt #6#'S:

# {(cos (x) sin (y) = 0), (sin (x) cos (y) = 0):} #

Dette systemet er løst å velge for # X # et punkt som ødelegger cosinus, og for # Y # et punkt som forintetgjør sinusen, og omvendt, så

# x = pm pi / 2 #, og # y = pm pi #, og vice versa # x = pm pi # og # y = pm pi / 2 #, å skaffe seg #8# poeng i alt.

Hva er extrema- og sadelpunktene for f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Domenet med definisjonen av: f (x) = 2x ^ 2lnx er intervallet x i (0, + oo). Vurder den første og andre derivaten av funksjonen: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2nnx) (d2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx De kritiske punktene er løsningene av: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 og som x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) I dette punktet: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0 så kritisk punkt er et lokalt minimum. Sadpunktene er løsningene av: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 og ettersom f '' (x) er monotone

Hva er extrema- og sadelpunktene for f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Denne funksjonen har ingen stasjonære poeng (er du sikker på at f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2-y / x er den du ønsket å studere ?!). I henhold til den mest diffuste definisjonen av sadelpunkter (stasjonære punkter som ikke er extrema), søker du etter de stasjonære punktene i funksjonen i domenet D = (x, y) i RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) i RR ^ 2}. Vi kan nå omskrive uttrykket gitt for f på følgende måte: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Måten å identifisere dem er å søke etter punkter som nuller gradienten av f, som er vektoren til d

Hva er extrema- og sadelpunktene for f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) på intervallet x, y i [-pi, pi]?

Vi har: f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) = = 6sinxsin ^ 2y Trinn 1 - Finn de delvise derivatene Vi beregner det delvise derivatet av en funksjon av to eller flere variabler ved å differensiere wrt en variabel, mens de andre variablene behandles som konstant. Således: De første derivatene er: f_x = -6cosxsin ^ 2y f_y = -6sinx (2sinycosy) = -6sinxsin2y De andre derivatene (sitert) er: f_ (xx) = 6sinxsin ^ 2y f_ (yy) = -6sinx 2cos2y) = -12sinxcos2y De andre partielle krydsderivatene er: f_ (xy) = -6cosxsin2y f_ (yx) = -6cosx (2sinycosy) = -6cosxsin2y Merk at de andre partielle kryssderivatene er identisk