Hva er det implisitte derivatet av 4 = (x + y) ^ 2?

Svar:

Du kan bruke kalkulator og bruke noen få minutter på dette problemet, eller du kan bruke algebra og tilbringe noen sekunder, men uansett vil du få # Dy / dx = -1 #.

Forklaring:

Begynn med å ta derivatet med respekt for begge sider:

# D / dx (4) = d / dx (x + y) ^ 2 #

Til venstre har vi derivatet av en konstant - som bare er #0#. Det bryter problemet ned til:

# 0 = d / dx (x + y) ^ 2 #

Å evaluere # D / dx (x + y) ^ 2 #, må vi bruke kraftregelen og kjederegelen:

# D / dx (x + y) ^ 2 = (x + y) '* 2 (x + y) ^ (2-1) #

Merk: vi multipliserer med # (X + y) '# fordi kjedestyrelsen forteller oss at vi må multiplisere derivatet av hele funksjonen (i dette tilfellet # (X + y) ^ 2 # ved innsiden funksjon (i dette tilfellet # (X + y) #).

# D / dx (x + y) ^ 2 = (x + y) '* 2 (x + y) #

Som for # (X + y) '#, legg merke til at vi kan bruke sumregel for å bryte den inn # x '+ y' #. # x '# er ganske enkelt #1#, og fordi vi egentlig ikke vet hva # Y # er, vi må gå # Y '# som # Dy / dx #:

# D / dx (x + y) ^ 2 = (1 + dy / dx) (2 (x + y)) #

Nå som vi har funnet vår derivat, er problemet:

# 0 = (1 + dy / dx) (2 (x + y)) #

Gjør noe algebra for å isolere # Dy / dx #, vi ser:

# 0 = (1 + dy / dx) (2x + 2y) #

# 0 = 2x + dy / dx2x + dy / dx2y + 2y #

# 0 = x + dy / Dxx + dy / dxy + y #

# -X-y = dy / Dxx + dy / dxy #

# -X-y = dy / dx (x + y) #

# Dy / dx = (- x-y) / (x + y) #

Interessant, dette tilsvarer #-1# for alle # X # og # Y # (unntatt når # X = -y #). Derfor, # Dy / dx = -1 #. Vi kunne faktisk funnet ut dette uten å bruke noen kalkuler i det hele tatt! Se på ligningen # 4 = (x + y) ^ 2 #. Ta kvadratroten av begge sider for å få # + - 2 = x + y #. Nå trekke fra # X # fra begge sider, og vi har #Y = + - 2-x #. Husk disse fra algebra? Hellingen til denne linjen er #-1#, og siden derivatet er skråningen, kunne vi nettopp ha sagt # Dy / dx = -1 # og unngikk alt som fungerer.