Hva er GDC (2 ^ 32-2 ^ 24 + 2 ^ 16-2 ^ 8 + 1, 2 ^ 8 + 1)?

Svar:

Den største felles divisoren av #2^32-2^24+2^16-2^8+1# og #2^8+1# er #1#

Forklaring:

Noter det:

#257 = 2^8+1 = 2^(2^3)+1#

er et førsteklasses nummer - faktisk et av de få kjente Fermat prime nummerene.

Så de eneste mulige vanlige faktorene #2^8+1# og #2^32-2^24+2^16-2^8+1# er #1# og #257#.

Men som du har nevnt i spørsmålet:

#2^32-2^24+2^16-2^8+1 = (2^40+1)/(2^8+1)#

er av formen:

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x ^ 5 + y ^ 5) / (x + y) #

Den ene faktoren # (x + y) = 2 ^ 8 + 1 # av #2^40+1# tilsvarer den virkelige femte rot av enhet og # (X + y) # er ikke automatisk en faktor for gjenværende kvartalet # X ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2 y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # hvis andre lineære faktorer er alle ikke ekte komplekse.

Vi kan manuelt dele # X ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2 y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # av # X + y # å få en polynomisk rest og deretter erstatning # X = 2 ^ 8 # og # Y = 1 # for å kontrollere at dette ikke er et spesielt tilfelle …

(x ^ 3-2x ^ 2y + 3xy ^ 2-4y ^ 3) + 5y ^ 4 #

Så resten er:

# 5y ^ 4 = 5 (farge (blå) (1)) ^ 4 = 5 #

Siden resten er ikke-null, #2^32-2^24+2^16-2^8+1# og #2^8+1# har ingen felles faktor større enn #1#.