Spørsmål # 27939

Svar:

Som Sudip Sinha har påpekt # -1 + sqrt3i # er IKKE en null. (Jeg forsømte å sjekke det.) De andre nullene er # 1-sqrt3 i # og #1#.

Forklaring:

Fordi alle koeffisientene er reelle tall, må noen imaginære nuller forekomme i konjugerte par.

Derfor, # 1-sqrt3 i # er null.

Hvis # C # er da null # Z-c # er en faktor, slik at vi kunne multiplisere

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # å få # Z ^ 2-2z + 4 #

og deretter dele #P (z) # av den kvadratiske.

Men det er raskere å vurdere den mulige rasjonelle null for # P # først. Eller legg til koeffisientene for å se det #1# er også null.

Svar:

#1# og # 1 - sqrt3 i #

Forklaring:

Det er en feil i spørsmålet ditt. Roten skal være # 1 + sqrt3 i #. Du kan bekrefte dette ved å sette verdien i uttrykket. Hvis det er en rot, bør uttrykket vurderes til null.

Uttrykket har alle ekte koeffisienter, så av Complex Conjugate Roots Theorem (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem), har vi at den andre komplekse roten er # 1 - sqrt3 i #, Klart den tredje roten (si #en#) må være ekte, siden det ikke kan ha et komplekst konjugat; ellers vil det være 4 røtter, som ikke er mulig for en 3-graders likning.

Merk

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (Siden # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

Vi vil prøve å få denne faktoren i uttrykket.

Vi kan skrive:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

Svar:

Som et intro tror jeg at roten skal være #COLOR (blå) (1 + sqrt3) # og ikke #COLOR (rød) (- 1 + sqrt3) #

På grunnlag av dette svaret mitt er:

#z i {1, "" 1 + sqrt3, "" 1-sqrt3} #

Forklaring:

Ved å bruke ideen om komplekse konjugater og noen andre kule triks.

#P (z) # er et polynom av grad #3#. Dette innebærer at det bare burde ha #3# røtter.

Et interessant faktum om komplekse røtter er at de aldri skjer alene. De forekommer alltid i konjugerte par.

Så hvis # 1 + isqrt3 # er en rot, da er dens konjugat: # 1-isqrt3 # absolutt er også en rot!

Og siden det er bare en rote igjen, kan vi ringe den roten # Z = a #.

Det er ikke et komplekst tall fordi komplekse røtter alltid forekommer i par.

Og siden dette er den siste av #3# røtter, det kan ikke være noen andre par etter den første!

Til slutt er faktorene til #P (z) # ble lett funnet å være # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "og" (z-a) #

NB: Merk at forskjellen mellom en rot og en faktor er det:

- En rot kunne være # Z = 1 + i #

Men den tilsvarende faktoren ville være # Z- (1 + i) #

Det andre trikset er det, ved factoring #P (z) # vi burde få noe slikt:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a)

Neste, utvide bøylene, #P (z) = z ^ 2z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a)

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = Z ^ 3 + z ^ 2 (a-2) + z (2a + 4) -4a #

Deretter tilsvarer vi dette til det opprinnelige polynomet #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# => Z ^ 3 + z ^ 2 (a + 2) + z (-2a + 4) -4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

Siden de to polynomene er identiske, tilsvarer vi koeffisientene til # Z ^ 3 #, # Z ^ 2 #, # Z ^ 1 #og # Z ^ 0 #(den konstante sikt) på hver side,

Faktisk trenger vi bare å velge en ligning og å løse den for #en#

I likhet med de konstante vilkårene, # => - 4a = -4 #

# => A = 1 #

Derfor er den siste rotten #COLOR (blå) (z = 1) #