Hva er asymptoten (er) og hullet (e) av f (x) = xsin (1 / x)?

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

Vel, det er åpenbart et hull på # X = 0 #, siden divisjonen av #0# det er ikke mulig.

Vi kan grafisere funksjonen:

graf {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Det er ingen andre asymptoter eller hull.

Svar:

#f (x) # har et hull (flyttbar diskontinuitet) på # X = 0 #.

Den har også en horisontal asymptote # Y = 1 #.

Den har ingen vertikale eller skjulte asymptoter.

Forklaring:

gitt:

#f (x) = x sin (1 / x) #

Jeg vil bruke noen få egenskaper av #sin (t) #, nemlig:

• #abs (sin t) <= 1 "" # for alle reelle verdier av # T #.

• #lim_ (t> 0) sin (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -in (t) "" # for alle verdier av # T #.

Først merk at #f (x) # er en jevn funksjon:

#f (-x) = (-x) sin (1 / (-x)) = (-x) (- sin (1 / x)) = x sin (1 / x) = f (x) #

Vi finner:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)) <= abs (x) #

Så:

# 0 <= lim_ (x-> 0+) abs (x sin (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+) abs (x) = 0 #

Siden dette er #0#, det er også #lim_ (x-> 0+) x sin (1 / x) #

Også siden #f (x) # er jevn:

#lim_ (x-> 0 ^ -) x sin (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x sin (1 / x) = 0 #

Noter det #f (0) # er udefinert, siden det innebærer divisjon av #0#, men både venstre og høyre grenser finnes og er enige på # X = 0 #, så det har et hull (flyttbar diskontinuitet) der.

Vi finner også:

#lim_ (x-> oo) x sin (1 / x) = lim_ (t> 0 ^ +) sin (t) / t = 1 #

På samme måte:

#lim_ (x -> - oo) x sin (1 / x) = lim_ (t> 0 ^ -) sin (t) / t = 1 #

Så #f (x) # har en horisontal asymptote # Y = 1 #

graf {x sin (1 / x) -2,5, 2,5, -1,25, 1,25}