Hvordan utvides i Maclaurin-serien dette? f (x) = int_0 ^ xlog (1-t) / tdt

Svar:

#f (x) = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / 1) ^ 2 #

Visuell: Sjekk ut denne grafen

Forklaring:

Vi kan tydeligvis ikke evaluere dette integralet som det bruker noen av de vanlige integreringsteknikkene vi har lært. Men siden det er en klar integral, kan vi bruke en MacLaurin-serie og gjøre det som kalles term etter termintegrasjon.

Vi må finne MacLaurin-serien. Siden vi ikke ønsker å finne den nth-derivaten av den funksjonen, må vi prøve å passe den inn i en av MacLaurin-serien vi allerede kjenner.

For det første liker vi ikke #Logg#; vi vil gjøre det a # Ln #. For å gjøre dette kan vi bare bruke endringen av basisformel:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

Så vi har:

# Int_0 ^ XLN (1-t) / (TLN (10)) dt #

Hvorfor gjør vi dette? Vel, legg merke til det # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # Hvorfor er dette så spesielt? Vi vil, # 1 / (1-x) # er en av våre vanlige MacLaurin-serier:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n #

…for alle # X # på #(-1, 1#

Så, vi kan bruke dette forholdet til vår fordel, og erstatte #ln (1-t) # med # Int-1 / (1-t) dt #, som tillater oss å erstatte det # Ln # sikt med en MacLaurin-serie. Å sette sammen dette gir:

#ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt #

Evaluering av integralet:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

Kansellerer ut # T # løpetid i nevnen:

# = -1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) #

Og nå tar vi det konkrete integralet vi startet problemet med:

(ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) dt #

Merk: Vær oppmerksom på hvordan vi nå ikke trenger å bekymre deg for å dele med null i dette problemet, noe som vi har hatt i den originale integandelen på grunn av # T # sikt i nevneren. Siden dette ble kansellert i det forrige trinnet, viser det at diskontinuiteten er flyttbar, som fungerer bra for oss.

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 # evaluert fra #0# til # X #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 #

Pass på at du skjønner at denne serien bare er god på intervallet #(1, 1#, siden MacLaurin-serien vi brukte ovenfor kun er konvergent på dette intervallet. Sjekk ut denne grafen jeg laget for å få en bedre ide om hvordan dette ser ut.

Håper det hjalp:)