Hva er ligningen av tangentlinjen til f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 ved x = 5?

Sammenligningen av tangentlinjen er av formen:

# Y = farge (orange) (a) x + farge (fiolett) (b) #

hvor #en# er hellingen til denne rette linjen.

For å finne hellingen til denne tangentlinjen til #f (x) # på punkt # X = 5 # vi bør skille mellom #f (x) #

#f (x) # er en kvotientfunksjon av skjemaet # (U (x)) / (v (x)) #

hvor #U (x) = x-3 # og #v (x) = (x-4) ^ 2 #

#COLOR (blå) (f (x) = (u '(x) v (x) -v' (x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#U '(x) = X'-3' #

#COLOR (red) (u '(x) = 1) #

#V (x) # er en komposittfunksjon, så vi må bruke kjederegel

la #G (x) = x ^ 2 # og #H (x) = x-4 #

#v (x) = g (h (x)) #

#COLOR (rød) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#G '(x) = 2x # deretter

#g '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

# t '(x) = 1 #

#COLOR (rød) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#COLOR (rød) (v '(x) = 2 (x-4) #

#COLOR (blå) (f (x) = (u '(x) v (x) -v' (x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#f '(x) = (1 * (x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / ((x-4) ^ 2) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / (x-4) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2 (x-3))) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2x + 6)) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (- x + 2)) / (x-4) ^ 4 #

forenkle fellesfaktoren # x-4 # mellom teller og nevner

#COLOR (blå) (f (x) = (- x + 2) / (x-4) ^ 3) #

Fordi tangentlinjen passerer gjennom punktet # X = 5 # slik at vi kan finne verdien av skråningen #en# ved å erstatte # X = 5 # i # f '(x) #

#COLOR (oransje) (a = f '(5)) #

#A = (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# A = -3/1 ^ 3 #

#COLOR (orange) (a = -3) #

Gitt abscissen av tangenspunktet #COLOR (brun) (x = 5) # lar

La oss finne sin ordinat # Y = f (5) #

#COLOR (brun) (y = f (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4 #

# Y = 2/1 #

#COLOR (brun) (y = 2) #

Har koordinatene til tangenspunktet #COLOR (brun) ((5, 2)) # og bakken #COLOR (orange) (a = -3) # la oss finne #COLOR (fiolett) (b) #

La oss erstatte alle kjente verdier i ligningen for tangentlinjen for å finne verdi #COLOR (fiolett) (b) #

#COLOR (brun) (y) = farge (orange) (a) farger (brun) (x) + farge (fiolett) (b) #

# 2 = -3 (5) + farge (fiolett) (b) #

# 2 = -15 + farge (fiolett (b) #

# 17 = farge (fiolett) (b) #

derfor ligningen på tangentlinjen ved punkt #COLOR (brun) ((5, 2)) # er:

# Y = -3x + 17 #

Hvordan bruker du implisitt differensiering for å finne ligningen til tangentlinjen til kurven x ^ 3 + y ^ 3 = 9 ved punktet hvor x = -1?

Vi begynner på dette problemet ved å finne tangenspunktet. Erstatning i verdien av 1 for x. x ^ 3 + y ^ 3 = 9 (1) ^ 3 + y ^ 3 = 9 1 + y ^ 3 = 9 y ^ 3 = 8 Ikke sikker på hvordan du viser en kubet rot ved hjelp av vår mattenotasjon her på sokratisk men husk at Å øke en mengde til 1/3 effekten er ekvivalent. Løft begge sider til 1/3 effekten (y ^ 3) ^ (1/3) = 8 ^ (1/3) y ^ (3 * 1/3) = 8 ^ (1/3) y ^ (3 / 3) = 8 ^ (1/3) y ^ (1) = 8 ^ (1/3) y = (2 ^ 3) ^ (1/3) y = 2 ^ (3 * 1/3) y = 2 ^ (3/3) y = 2 ^ (1) y = 2 Vi fant bare at når x = 1, y = 2 Fullfør den implisitte differensiering

Hva er hellingen til tangentlinjen til ligningen y = x ^ 2 (3x + 1 / x ^ 3) ved x = 1/3?

Hastighet av tangent til y ved x = 1/3 er -8 y = x ^ 2 (3x + 1 / x ^ 3) = x ^ 2 (3x + x ^ (-3)) dy / dx = x ^ 2 3-3x ^ (- 4)) + 2x (3x + x ^ (- 3)) Produktregel = 3x ^ 2-3x ^ (- 2) + 6x ^ 2 + 2x ^ (-2) = 9x ^ 2- x ^ (- 2) Hellingen (m) av tangenten til y ved x = 1/3 er dy / dx ved x = 1/3 Således: m = 9 * (1/3) ^ 2 - (1/3 ) ^ (- 2) m = 1-9 = 8

Hva er ligningen av tangentlinjen til f (x) = 6x-x ^ 2 ved x = -1?

Se nedenfor: Første trinn er å finne det første derivatet av f. f (x) = 6x-x ^ 2f '(x) = 6-2x Derfor: f' (- 1) = 6 + 2 = 8 Verdien av 8s betydning er at dette er gradienten av f hvor x = - 1. Dette er også graden av tangentlinjen som berører grafen til f på det tidspunktet. Så vår linjelfunksjon er for tiden y = 8x Vi må imidlertid også finne y-interceptet, men for å gjøre dette trenger vi også y-koordinatet til punktet hvor x = -1. Plug x = -1 til f. f (-1) = - 6- (1) = - 7 Så et punkt på tangentlinjen er (-1, -7) Nå, ved å bruke