Hva er den raskeste og enkleste metoden for å løse kubiske og kvartsiske ligninger (uten en polynomalkalkulator)?

Svar:

Det kommer an på…

Forklaring:

Hvis den kubiske eller kvartsiske (eller en hvilken som helst gradspolynom for det saks skyld) har rasjonelle røtter, kan den rasjonelle røtteretningen være den raskeste måten å finne dem på.

Descartes tegnstegn kan også bidra til å identifisere om en polynomekvasjon har positive eller negative røtter, så bidra til å begrense søket.

For en kubisk ligning kan det være nyttig å evaluere diskriminanten:

#Delta = b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-4b ^ 3d-27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd #

• Hvis # Del = 0 # da har kubikket en gjentatt rot.

• Hvis # Delte <0 # da har kubikken en reell rot og to ikke-ekte komplekse røtter.

• Hvis #Delta> 0 # da har kubikket tre reelle røtter.

Hvis # Del = 0 # da deler kubikket en faktor med dens derivat, så du bør kunne finne sin felles faktor ved å beregne polynomial GCF.

Ellers er det sannsynligvis nyttig å bruke en Tschirnhaus-transformasjon til å utlede a deprimert kubikk uten firkantet sikt før du fortsetter videre.

Hvis en kubikk har en ekte rot og to ikke-ekte, så vil jeg anbefale Cardans metode.

Hvis den har tre virkelige røtter, vil jeg anbefale å bruke en trigonometrisk substitusjon i stedet.

For quartics, kan du få en deprimert quartic uten kubeterm med en erstatning som #t = x + b / (4a) #.

Hvis den resulterende kvartikken heller ikke har noe lineært uttrykk så er det en kvadratisk inn # X ^ 2 #. Du kan enten løse det som en kvadratisk og ta firkantede røtter, eller bruk en faktorisering av skjemaet:

(x ^ 2 + akse + b) = x ^ 4 + (2b-a ^ 2) x ^ 2 + b ^ 2 #

Herfra kan du finne kvadratiske faktorer for å løse.

Hvis den resulterende kvartikken har et lineært uttrykk, kan det bli fakturert i skjemaet:

(x + 2-akse + b) (x ^ 2 + akse + c) = x ^ 4 + (b + c-a ^ 2) x ^ 2 + a (b-c) x + bc #

Ekvivalente koeffisienter og bruk # (b + c) ^ 2 = (b-c) ^ 2 + 4bc #, du kan utlede en kubikk i # A ^ 2 #. Derfor kan du finne mulige verdier for #en#, # B # og # C #. Finn så nullene av de kvadratiske faktorene.

Det er andre spesielle tilfeller, men det dekker stort sett det.