Hvordan finner du asymptotene for y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3))?

Svar:

vertikal

# X = 1 #

# X = 3 #

Horisontal

# X = 1 # (for begge deler # + - oo #)

Skrå

Eksisterer ikke

Forklaring:

La # Y = f (x) #

• Vertikale asymptoter

Finn grensene for funksjonen som den har en tendens til å begrense sitt domene med unntak av uendelig. Hvis resultatet er uendelig, enn det # X # linjen er en asymptote. Her er domenet:

#x i (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

Så den 4 mulig vertikale asymptoter er:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

asymptote # X-> 1 ^ - #

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ - (- 2)) = #

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + oo # Vertikal asymptote for # X = 1 #

Merk: for # x-1 # siden # X # er litt lavere enn 1, vil resultatet være noe litt lavere enn 0, så tegnet vil være negativt, derfor notatet #0^-# som senere oversettes til et negativt tegn.

Bekreftelse for asymptote # X-> 1 ^ + #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ + * (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -oo # bekreftet

asymptote # X-> 3 ^ - #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -oo # Vertikal asymptote for # X = 3 #

Bekreftelse for asymptote # X-> 3 ^ + #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ +) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + oo # bekreftet

• Horisontale asymptoter

Finn begge grensene som funksjonen har en tendens til å # + - oo #

Minus uendelig #X -> - oo #

#lim_ (x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (x-3)) = #

# = Lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4 x-3) = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = Lim_ (x -> - oo) (avbryt (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (avbryt (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> - oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Horisontal asymptote for # Y = 1 #

Pluss uendelig #X -> + oo #

#lim_ (x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1), (x-3)) = #

# = Lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4 x-3) = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = Lim_ (x -> + oo) (avbryt (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (avbryt (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> + oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Horisontal asymptote for # Y = 1 #

Merk: det skjer bare slik at denne funksjonen har en felles horisontal for begge # -Oo # og # + Oo #. Du bør alltid sjekke begge deler.

• Skråstilte asymptoter

Du må først finne begge grensene:

#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #

For hver, hvis denne grensen er et reelt tall, eksisterer asymptoten og grensen er dens skråning. De # Y # avskjæringen av hver er grensen:

#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #

Men for å spare oss problemer, kan du bruke noen funksjon "kunnskap" for å unngå dette. Siden vi vet #f (x) # har horisontal asymptote for begge deler # + - oo # Den eneste måten å ha en skrå på, har en annen linje som #X -> + - oo #. Derimot, #f (x) # er en #1-1# fungere så det kan ikke være to # Y # verdier for en # X #Derfor er en annen linje umulig, så det er umulig å ha skrå asymptoter.