La vec (x) være en vektor slik at vec (x) = (-1, 1), "og la" R (θ) = [(costheta, -sintheta), (sintheta, costheta)], som er rotasjon Operatør. For theta = 3 / 4pi finn vec (y) = R (theta) vec (x)? Lag en skisse som viser x, y og θ?

Dette viser seg å være en rotasjon mot urviseren. Kan du gjette med hvor mange grader?

La #T: RR ^ 2 | -> RR ^ 2 # være en lineær transformasjon, hvor

#T (vecx) = R (theta) vecx, #

#R (theta) = (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta), #

#vecx = << -1,1 >>. #

Merk at denne transformasjonen var representert som transformasjonsmatrise #R (theta) #.

Hva det betyr er siden # R # er rotasjonsmatrisen som representerer rotasjonstransformasjonen, vi kan multiplisere # R # av # Vecx # for å oppnå denne transformasjonen.

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx << -1,1 >> #

For en # MxxK # og # KxxN # matrise, resultatet er en #COLOR (grønn) (MxxN) # matrise, hvor # M # er den rad dimensjon og # N # er den kolonne dimensjon. Det er:

# (y_ (11), y_ (12), …, y_ (1n)), (y_ (21), y_ (22), …, y_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (y_ (m1), y_ (m2), …, y_ (mn))

R_ (1k)), (R_ (21), R_ (22), …, R_ (2k)), (vdots, vdots, dd, vdots), (R_ (m1), R_ (m2), …, R_ (mk)) xx (x_ (11), x_ (12), … x_ (1n)), x_ (21), x_ (22), … x_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (x_ (k1), x_ (k2), …, x_ (kn)) #

Derfor, for a # 2xx2 # matrise multiplisert med a # 1xx2 #, vi må transponere vektoren for å få en # 2xx1 # kolonnevektor, noe som gir oss et svar som er a # Mathbf (2xx1) # kolonnevektor.

Multiplikasjon av disse to gir:

# (Costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx (- 1), (1) #

# = (-costheta - sintheta), (- sintheta + costheta) #

Deretter kan vi plugge inn #theta = (3pi) / 4 # (som jeg antar er riktig vinkel) for å få:

#color (blå) (T (vecx) = R (theta) vecx) #

# = R (theta) (- 1), (1) #

# = (-cos (3pi) / 4) - sin ((3pi) / 4)), (- sin ((3pi) / 4) + cos ((3pi) / 4))

# = (-cos135 ^ @ sin135 ^ @), (- sin135 ^ @ + cos135 ^ @) #

# = (- (- sqrt2 / 2) - sqrt2 / 2), (- sqrt2 / 2 + (-sqrt2 / 2)) # #

# = farge (blå) ((0), (- sqrt2)) # #

La oss nå grave dette for å se hvordan dette ser ut. Jeg kan fortelle at det er en rotasjon mot urviseren, etter å ha bestemt den transformerte vektoren.

Faktisk, en rotasjon mot urviseren #135^@#.

Utfordring: Kanskje du kan vurdere hva som skjer når matrisen er # (costheta, sintheta), (- sintheta, costheta) # i stedet. Tror du det vil være med klokken?