Bevis at kurvene x = y ^ 2 og xy = k kutter i rette vinkler hvis 8k ^ 2 = 1?

Svar:

#-1#

Forklaring:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

# k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

de to kurvene er

#x = y ^ 2 #

og

#x = sqrt (1/8) / y eller x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

for kurven #x = y ^ 2 #, derivatet med hensyn til # Y # er # 2y #.

for kurven #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #, derivatet med hensyn til # Y # er # -Sqrt (1/8) y ^ -2 #.

punktet som de to kurvene møter er når # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

siden #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

punktet som kurver møtes på er # (1/2, sqrt (1/2)) #

når #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

Graden av tangentet til kurven #x = y ^ 2 # er # 2sqrt (1/2), eller 2 / (sqrt2) #.

når #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

Graden av tangentet til kurven #xy = sqrt (1/8) # er # -2sqrt (1/8), eller -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

Vi søker en tilstand av # K # slik at kurvene # X = y ^ 2 # og # Xy = k # "kutte i rette vinkler". Matematisk betyr dette at kurvene skal være ortogonale, noe som igjen betyr at tangentene til kurver på alle punkter noen gitt punkt er vinkelrett.

Hvis vi undersøker familiens kurver for ulike verdier av # K # vi får:

Vi merker umiddelbart at vi ser etter et enkelt punkt hvor tangenten er vinkelrett, så generelt er kurvene ikke ortogonale på alle punkter.

Først la oss finne enkelt koordinere, # P #, av krysspunktet, som er den samtidige løsningen av:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

Ved å erstatte Eq A til B får vi:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = rot (3) (k) #

Og så etablerer vi kryssekoordinatet:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

Vi trenger også gradienter av tangenter på denne koordinaten. For den første kurven:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

Så gradienten av tangenten, # M_1 #, til den første kurven på # P # er:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

Tilsvarende, for den andre kurven:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Så gradienten av tangenten, # M_2 #, til den andre kurven på # P # er:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = -k ^ (- 1/3) #

Hvis disse to tangenter er vinkelrette, krever vi det:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (-1/3)) = -1 #

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Ledende til det gitte resultatet:

# 8k ^ 2 = 1 # QED

Og med denne verdien av # K #