En ball faller rett ned fra en høyde på 12 fot. Ved å slå bakken, hopper den tilbake 1/3 av avstanden den falt. Hvor langt vil ballen reise (både oppover og nedover) før det kommer til hvile?

Svar:

Bollen vil reise 24 fot.

Forklaring:

Dette problemet krever behandling av uendelig serie. Vurder den faktiske oppførelsen av ballen:

Først faller ballen 12 fot.

Deretter hopper ballen opp #12/3 = 4# føtter.

Ballen faller deretter 4 fot.

På hver suksessive sprett reiser ballen

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ n # føtter, hvor # N # er antall bounces

Dermed, hvis vi forestiller oss at ballen starter fra #n = 0 #, så kan vi få svaret fra den geometriske serien:

# sum_ (n = 0) ^ infty 24/3 ^ n - 12 #

Legg merke til #-12# korreksjonsperiode, dette er fordi hvis vi starter fra # N = 0 # vi teller en 0 sprett på 12 fot opp og 12 fot ned. I virkeligheten reiser ballen bare halvparten av den, som den starter i midair.

Vi kan forenkle summen vår til:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 #

Dette er bare en enkel geometrisk serie, som følger regelen om at:

#lim_ (n-> infty) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

Så lenge som # | R | <1 #

Dette gir en enkel løsning på vårt problem:

# 24sum_ (n = 0) ^ 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# føtter.