Hva er den generelle formelen for diskriminanten av et polynom av grad n?

Svar:

Se forklaring …

Forklaring:

Diskriminanten av et polynom #f (x) # av grad # N # kan beskrives med hensyn til determinant av Sylvester matrisen av #f (x) # og #f '(x) # som følger:

gitt:

#f (x) = a_nx ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

Vi har:

(n-1) x (n-1) + (n-1) a_ (n-1) x ^ (n-2) + … + a_1 #

Sylvester matrisen av #f (x) # og #f '(x) # er en # (2n-1) xx (2n-1) # matrise dannet under anvendelse av deres koeffisienter, ligner på følgende eksempel for # N = 4 # …

(0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0), (4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a_2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0),, 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

Så diskriminanten # Delta # er gitt i form av determinanten av Sylvester-matrisen ved formelen:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

Til # N = 2 # vi har:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1)) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(som du kanskje finner mer gjenkjennelig i skjemaet #Delta = b ^ 2-4ac #)

Til # N = 3 # vi har:

#Delta = (-1) / a_3abs ((a_3, a_2, a_1, a_0,0), (0, a_3, a_2, a_1, a_0), (3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0), 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1)) #

#color (hvit) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

Diskriminanter for kvadratikk (# N = 2 #) og kubikk (# N = 3 #) er de mest nyttige ved at de forteller deg nøyaktig hvor mange ekte, gjentatte eller ikke-ekte komplekse nuller et polynom har.

Tolkningen av diskriminanten for høyere ordenspolynomer er mer begrenset, men har alltid egenskapen at polynomet har gjentatt nuller hvis og bare hvis diskriminanten er null.

#COLOR (hvit) () #

Videre lesning

Se