Hvordan løse 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?

Svar:

Vi kan løse dette spørsmålet grafisk.

Forklaring:

Den gitte ligningen # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # kan skrives på nytt som

# 2e ^ (x) = 7-2x #

Ta nå disse to som separate funksjoner

#f (x) = 2e ^ (x) # og #g (x) = 7-2x # og plott deres graf; deres skjæringspunkt vil være løsning til den gitte ligningen # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

Dette er vist nedenfor: -

Svar:

Denne er utenfor videregående algebra, og den beste måten å løse det på er å spørre Wolfram Alpha som svarer #x ca..

Forklaring:

Løse

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

Spørsmål som dette er generelt vanskelige, og svaret avhenger av om du er i algebra på videregående eller dypere i matte.

For videregående skole er den beste tilnærmingen å bare prøve noen små tall og se om de jobber. (Dette fungerer for mange, mange videregående matematikkproblemer, fyi.) Det er egentlig bare en rasjonell # X # det gjør # E ^ x # rasjonell, # X = 0 #, som ikke er en løsning. Så gjetning kommer ikke til å fungere her.

Hvis en tilnærming er god nok, kan vi grave den, eller grafen # 2e ^ x # og # 7-2x # og se hvor de møtes.

Uansett ditt nivå, når du står overfor en vanskelig en slik, er det vanligvis et godt trekk for å spørre den tilgjengelige ekspert, som er Wolfram Alpha.

Vi ser at Alpha ga oss et omtrentlig svar, ganske nær 1, og til og med en formel ved hjelp av W (x), som Lambert Product Log, som vanligvis ikke er en del av videregående matematikk.

Det er ikke noe svar ved å bruke vanlige funksjoner og operasjoner vi vet om i videregående algebra. Det er vanligvis sant når vi legger til et begrep med # X # i en eksponent til en hvor # X # vises som en lineær eller høyere effekt.

Det er slutten på svaret for de fleste studenter. Men vi kan gå dypere. Produktloggen er en interessant funksjon.Vurder ligningen

# k = xe ^ x #

På høyre side er en økende funksjon av # X #, så det vil krysse # K # før eller senere. Å ta loggen egner seg egentlig ikke oss hvor som helst: #ln k = ln x + x #.

Vi trenger noe som en logg, men ikke en som er omvendt av # E ^ x #. Det må være omvendt av # Xe ^ x #. Det kalles produktloggen eller Lambert W-funksjonen, definert som:

# k = xe ^ x # har reell løsning #x = W (k) #.

Vi vil begrense vår oppmerksomhet til realsene. Det er gøy å prøve å oppdage # W '#s egenskaper. Den grunnleggende vi er gitt er

#W (xe ^ x) = x #

La oss la # X = ye ^ y # i det følgende så #W (x) = y #. Nå

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

Det er kult. Hva med

# e ^ {W (x)} = e ^ {y} = frac x y = frac {x} {W (x)} #

Tar logger, # W (x) = ln x - ln W (X) #

# ln w (x) = ln x - w (x) quad # antas logger er definert

Nå som du ser hvordan det er å jobbe med W, kan du se om du kan bruke det til å løse ligningen, eller for å sjekke Alphas løsning

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #