Hvordan skiller du f (x) = (x-e ^ x) (cosx + 2sinx) ved hjelp av produktregelen?

Svar:

Først bruker du produksjonsregel for å få

(dxxxxx)) (cosx + 2sinx) + (x-exx) (d / dx (cosx + 2sinx)) # d / dxf (x) =

Bruk deretter lineariteten av derivat- og funksjon-derivatdefinisjonene for å få

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx-xsinx + 2xcosx #

Forklaring:

Produktregel innebærer å ta derivat av funksjon som er multipliser av to (eller flere) funksjoner, i skjemaet #f (x) = g (x) * h (x) #. Produktregelen er

# d / dx f (x) = (d / dx g (x)) * h (x) + g (x) * (d / dx h (x)) #.

Brukes til vår funksjon,

#f (x) = (x-e ^ x) (cosx + 2sinx) #

Vi har

(dxxxxx)) (cosx + 2sinx) + (x-exx) (d / dx (cosx + 2sinx)) # d / dxf (x) =.

I tillegg må vi bruke lineariteten av derivasjonen, det

# d / dx (a * f (x) + b * g (x)) = a * (d / dxf (x)) + b * (d / dx g (x)) #.

Bruk dette vi har

dx (xx)) (cosx + 2sinx) + (xe ^ x) (d / dx (cosx) + 2 * d / dx (sinx)) #.

Vi må gjøre de enkelte derivatene av disse funksjonene, vi bruker

# d / dx x ^ n = n * x ^ {n-1} # # # # # # # # d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin x = cos x # # # # # # # # d / dx cos x = - sin x #.

Nå har vi

# d / dx f (x) = (1 * x ^ 0-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #.

# d / dx f (x) = (1-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #

På dette punktet har vi nettopp slått litt

(xx = 2xx) + x (-sinx + 2 * cosx) + e ^ x (sinx-2cosx) # d / dxf (x) = (cosx + 2sinx)

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-e ^ xcosx-2 e ^ xsinx-xsinx + 2xcosx + e ^ x sinx-2e ^ xcosx #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx-xsinx + 2xcosx #