Bevis at: (er sant for eventuelle positive x, y) :? x ^ x * y ^ y> = ((x + y) / 2) ^ (x + y)

Bevis at: (er sant for eventuelle positive x, y) :? x ^ x * y ^ y> = ((x + y) / 2) ^ (x + y)
Anonim

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

Ta i betraktning #f (x) = x ln x #

Denne funksjonen har en konveks hypografi fordi

#f '' (x) = 1 / x> 0 #

så i dette tilfellet

#f ((x + y) / 2) le 1/2 (f (x) + f (y)) # eller

# ((x + y) / 2) ln ((x + y) / 2) le 1/2 (x ln x + y ln y) # eller

# ((x + y) / 2) ^ ((x + y) / 2) le (x ^ x y ^ y) ^ (1/2) #

og til slutt kvadrerer begge sider

# ((x + y) / 2) ^ (x + y) le x ^ x y ^ y #