X (P (x) Q (x)) xP (x) xQ (x) xx (P (x) Q (x)) xP (x) xQ ). Vennligst hjelp meg med den første utsagnet?

For å forstå disse uttalelsene må vi først forstå notasjonen som brukes.

• # AA # - for alle - Dette symbolet innebærer at noe gjelder for hvert eksempel i et sett. Så, når vi legger til en variabel # X #, # AAX # betyr at noe erklæring gjelder for enhver mulig verdi eller gjenstand vi kan erstatte # X #.

• #P (x), Q (x) # - forslag - Dette er logiske proposisjoner om # X #, det vil si, de representerer uttalelser om # X # som er enten sanne eller falske for noen bestemt # X #.

• # # - og - Dette symbolet tillater kombinasjonen av flere proposisjoner. Det kombinerte resultatet er sant når begge proposisjonene returnerer sanne og falske ellers.

• # # - eller - Dette symbolet tillater også kombinasjonen av flere proposisjoner. Det kombinerte resultatet er falskt når begge proposisjonene returnerer falsk og sant ellers.

• # # - hvis og bare hvis - Dette symbolet tillater også kombinasjonen av flere proposisjoner. Det kombinerte resultatet er sant når begge proposisjonene returnerer den samme sannhetsverdien for alle # X #, og falsk på annen måte.

Med dette kan vi nå oversette uttalelsene. Den første setningen, direkte uttrykt, ville høres ut som "For alle x, P av x og Q av x hvis og bare hvis for alle x, P av x og for alle x, Q of x."

Noen mindre tillegg og modifikasjoner gjør det litt mer forståelig.

"For alle x, P og Q er sant for x hvis og bare hvis P er sant for alle x og Q er sant for alle x."

Denne setningen er en tautologi, det er sant uansett hva vi erstatter for P eller Q. Vi kan vise dette ved å demonstrere at proposisjonen før innebærer den etter det, og omvendt.

Fra det forrige utsagnet har vi det for alle # X #, #P (x) Q (x) # er sant. Ved vår definisjon ovenfor betyr det at for hver # X #, #P (x) # er sant og #Q (x) # er sant. Dette innebærer at for noen # X #, #P (x) # er sant og for noen # X #, #Q (x) # er sant, hvilken er setningen som vises etter.

Hvis vi starter fra setningen som vises etter, vet vi det for noen # X #, #P (x) # er sant og for noen # X #, #Q (x) # er sant. Så for alle # X #, #P (x) # og #Q (x) # er begge sanne, betyr for alle # X #, #P (x) Q (x) # er sant. Dette viser at den første utsagnet alltid er sant.

Den andre setningen er feil. Uten å gå gjennom hele prosessen som ovenfor, kan vi bare vise at de to proposisjonene på hver side av ikke alltid har samme sannhetsverdi. For eksempel, anta at for halvparten av alt mulig # X #, #P (x) # er sant og #Q (x) # er falsk, og for den andre halvdelen, #Q (x) # er sant og #P (x) # er falsk.

I dette tilfellet, som for alle # X #, enten #P (x) # eller #Q (x) # er sant, forslaget #AAx (P (x) Q (x)) # er sant (se beskrivelsene av ovenfor). Men fordi det er verdier for # X # for hvilken #P (x) # er falsk, proposisjonen #AAxP (x) # er falsk. På samme måte, #AAxQ (x) # er også falsk, mening #AAxP (x) AAxQ (x) # er falsk.

Som de to proposisjonene har forskjellige sannhetsverdier, garanterer sannheten for en ikke sannheten til den andre, og dermed blir de med resulterende i et nytt forslag som er falskt.