Antallet av måter en eksaminator kan tildele 30 karakterer til 8 spørsmål gitt ikke mindre enn 2 karakterer til et spørsmål er?

Svar:

#259459200#

Forklaring:

Hvis jeg leser dette riktig, så hvis eksaminatoren bare kan tilordne karakterer i multipler av 2. Dette ville da bety at det bare er 15 valg ut av de 30 karakterene. #30/2 = 15#

Da har vi 15 valg fordelt på de 8 spørsmålene.

Bruk formel for permutasjoner:

# (n!) / ((n - r)!) #

Hvor # N # er antall objekter (i dette tilfellet merkene i grupper på 2).

Og # R # er hvor mange er tatt om gangen (i dette tilfellet de 8 spørsmålene)

Så vi har:

#(15!)/((15 - 8)!) = (15!)/(7!) = 259459200#

Svar:

Det er # "" _ 21C_14 # (eller 116.280) måter.

Forklaring:

Vi starter med 30 poeng i "banken" for å gi. Siden alle spørsmål må være verdt minst 2 merker, tar vi # 2 xx 8 = 16 # merker fra #30# og distribuere dem likt. Nå har hvert spørsmål 2 (så langt) og "banken" er igjen med #30-16=14# merkene.

Nå må vi bare finne antall måter å dele opp de resterende 14 karakterene blant de 8 spørsmålene. I begynnelsen kan dette virke veldig hardt, men det er et triks som gjør det mye mer intuitivt.

La oss forenkle ting for et øyeblikk. Hva om vi bare hadde 2 spørsmål, og 14 merker å splitte mellom dem? Hvor mange måter kan vi gjøre det? Vel, vi kunne dele merkene som 14 + 0, 13 + 1 eller 12 + 2, etc. … eller 1 + 13 eller 0 + 14. Med andre ord, når vi bare trenger å introdusere 1 splitt mellom 2 spørsmål), får vi 15 måter å gjøre det på.

Dette er det samme som å spørre: "Hvor mange unike måter kan vi ordne 14 gule kuler (merkene) og 1 blå marmor (spørsmålet splitter) på rad?" Svaret på dette er funnet ved å beregne antall permutasjoner av alle 15 kuler (som er #15!#), og deretter dividere med antall måter å permute begge gule kuler #(14!)# og blå kuler #(1!)#, siden det ikke er noe i hvilken rekkefølge de samme marmorene ser ut i hver ordning.

Så når det er 14 gule kuler (merker) og 1 blå marmor (spørsmål splitter), er det

# (15!) / (14! XX1!) = (15xxcancel (14!)) / (Avbryt (14!) XX1) = 15/1 = 15 #

15 måter å arrangere marmorene på (splitte merkene). Merk: dette er lik # "" _ 15C_14 #.

La oss introdusere en annen blå marmor, det vil si en andre splittelse eller et tredje spørsmål for å gi merkene til. Nå har vi 16 totalt marmor, og vi vil vite hvor mange unike måter vi kan ordne disse. Ligner på før, tar vi #16!# måter å ordne alle kuler på, deretter deles ut av måtene å permute både de gule #(14!)# og de blå #(2!)#:

# (16!) / (14! XX2!) = (16xx15xxcancel (14!)) / (Avbryt (14!) Xx2xx1) = (16xx15) / (2) = 120 #

Så det er 120 måter å dele 14 merker mellom 3 spørsmål. Dette er også lik # "" _ 16C_14 #.

Nå kan du merke hvor vi er på vei. Tallet til venstre for # C # er lik antall merker vi deler (gule kuler) i tillegg til antall splitters (blå kuler). Antall splittere er alltid en mindre enn Antall spørsmål. Tallet til høyre for # C # forblir antall tegn.

For å kutte de resterende 14 merkene blant alle 8 spørsmålene (som krever 7 splittere), beregner vi

# "" _ (14 + 7) = C_14 "" _ 21C_14 #

#COLOR (hvit) ("" _ (14 + 7) C_14) = (21!) / (7! xx14!) #

#COLOR (hvit) ("" _ (14 + 7) C_14) = "116280" #

Så det er 116.280 måter å tildele 30 karakterer til 8 spørsmål, hvor hvert spørsmål er verdt minst 2 karakterer.