La f være en funksjon slik at (under). Som må være sant? I. f er kontinuerlig ved x = 2 II. f er differensierbar ved x = 2 III. Derivatet av f er kontinuerlig ved x = 2 (A) I (B) II (C) I og II (D) I og III (E) II og III

Svar:

(C)

Forklaring:

Bemerker at en funksjon # F # er differentiable på et punkt # X_0 # hvis

#lim_ (h-> 0) (f (x_0 + h) -f (x_0)) / h = L #

Den oppgitte informasjonen er effektivt # F # er differentiable på #2# og det #f '(2) = 5 #.

Nå ser du på uttalelsene:

Jeg: True

Differensialitet av en funksjon på et punkt innebærer kontinuitet på det tidspunktet.

II: True

Den oppgitte informasjonen samsvarer med definisjonen av differensialitet på # X = 2 #.

III: Falsk

Derivatet av en funksjon er ikke nødvendigvis kontinuerlig, et klassisk eksempel er #g (x) = {(x ^ 2sin (1 / x) hvis x! = 0), (0 hvis x = 0):} #, som er differentiable på #0#, men hvis derivat har en diskontinuitet på #0#.

Døm følgende er sant eller falskt Hvis f er kontinuerlig på (0,1) så er det c i (0,1) slik at f (c) er en maksimumsverdi på f på (0,1)?

False Som du trodde, ville intervallet bli lukket for at setningen skulle være sant. For å gi en eksplisitt moteksempel, vurder funksjonen f (x) = 1 / x. f er kontinuerlig på RR {0}, og er dermed kontinuerlig på (0,1). Men som lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = oo er det tydeligvis ikke noe punkt c i (0,1) slik at f (c) er maksimal innenfor (0,1). Faktisk, for noen c i (0,1), har vi f (c) <f (c / 2). Dermed erklærer ikke uttalelsen for f.

Anta at f (x) er jevn funksjon. Hvis f (x) er kontinuerlig ved a, viser f (x) kontinuerlig ved -a?

Se nedenfor jeg er ikke 100% sikker på dette, men dette ville være mitt svar. Definisjonen av en jevn funksjon er f (-x) = f (x) Derfor f (-a) = f (a). Siden f (a) er kontinuerlig og f (-a) = f (a), så er f (-a) også kontinuerlig.

Kan en funksjon være kontinuerlig og ikke-differensierbar på et gitt domene?

Ja. Et av de mest slående eksemplene på dette er Weierstrass-funksjonen, oppdaget av Karl Weierstrass, som han definerte i sin opprinnelige papir som: sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (bnn pi x) hvor 0 <a < 1, b er et positivt oddetall og ab> (3pi + 2) / 2 Dette er en veldig spiky funksjon som er kontinuerlig overalt på Real-linjen, men differensibel ingensteds.