Kalkulus

Bærekapasiteten til en art er den maksimale befolkningen i den arten som miljøet kan opprettholde på ubestemt tid, gitt tilgjengelige ressurser. Det virker som en øvre grense for befolkningsvekstfunksjoner. På en graf, forutsatt at befolkningsvekstfunksjonen er avbildet med den uavhengige variabelen (vanligvis t i tilfeller av populasjonsvekst) på den horisontale akse, og den avhengige variabelen (populasjonen, i dette tilfellet f (x)) på den vertikale akse , vil bærekapasiteten være en horisontal asymptote. I det normale løpet av hendelsene, med unntak av ekstreme forhold, Les mer »

1/2 [-lN (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Først erstatter vi: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = 2e ^ (2x)) Intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) Du = Intsqrt (u) / (2 (u-1)) Du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) andre substitusjon: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) (v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 Nå har vi: -1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (v-1)) int1 + 1 / ((v + 1) (v-1)) dv = int1-1 / ) + 1 / (2 Les mer »

I læreboken bruker jeg (Stewart Calculus) kritisk punkt f = kritisk tall for f = verdi av x (den uavhengige variabelen) som er 1) i domenet til f, hvor f 'er enten 0 eller eksisterer ikke. (Verdier av x som oppfyller betingelsene for Fermats teorem.) Et bøyningspunkt for f er et punkt på grafen (har både x- og y-koordinater) der konvaviteten endres. (Andre synes å bruke annen terminologi. Jeg vet ikke at de spiste feil eller bare har forskjellig terminologi. Men lærebøkene jeg har brukt i USA siden begynnelsen av 80-tallet har alle brukt denne definisjonen.) Les mer »

Jeg vil si at en funksjon er diskontinuerlig ved en hvis den er kontinuerlig nær en (i et åpent intervall som inneholder a), men ikke ved a. Men det er andre definisjoner i bruk. Funksjon f er kontinuerlig ved tall a hvis og bare hvis: lim_ (xrarra) f (x) = f (a) Dette krever at: 1 "f (a) må eksistere. (a er i domenet til f) 2 "" lim_ (xrarra) f (x) må eksistere 3 Tallene i 1 og 2 må være like. I den mest generelle forstand: Hvis f ikke er kontinuerlig ved a, er f diskontinuerlig ved a. Noen vil da si at f er diskontinuerlig på en hvis f ikke er kontinuerlig hos en annen, v Les mer »

Pi / 4 Buklengden til f (x), x i [ab] er gitt av: S_x = int_b ^ av (x) sqrt (1 + f '(x) ^ 2) dx f (x) = - xsinx + xcos (x-pi / 2) = - xsinx + xsinx = 0 f '(x) = 0 Siden vi bare har y = 0, kan vi bare ta lengden på den rette linjen mellom 0 til pi / 4 som er pi / 4- 0 = pi / 4 Les mer »

Det er veldig nyttig å omskrive dette som f (x) = (sin (x)) ^ 7 (7sqrt3) / 2 ^ 7 = (7sqrt3) / 128 Metode f (x) = sin ^ 7 fordi dette gjør det klart at det vi har er en 7 ^ (th) strømfunksjon. Bruk kraftregelen og kjedelinjen (Denne kombinasjonen kalles ofte generalisert kraftregelen.) For f (x) = (g (x)) ^ n, er derivatet f '(x) = n (g (x) ) ^ (n-1) * g '(x), I annen notasjon d / (dx) (u ^ n) = nu ^ (n-1) (x) = 7 (sin (x)) ^ 6 * cos (x) Du kan skrive f '(x) = 7sin ^ 6 (x) * cos (x) Ved x = - pi / 3 har vi f (pi / 3) = 7sin ^ 6 (- pi / 3) * cos (- pi / 3) = 7 (1/2) ^ 6 (sqrt3 / 2) = (7sqrt3) / 2 ^ Les mer »

F (x) = ln ((x + 3) / 5) +1 Vi vet at int1 / xdx = lnx + C, så: int1 / (x + 3) dx = ln (x + 3) + C Derfor f x) = ln (x + 3) + C. Vi får den opprinnelige tilstanden f (2) = 1. Gjør nødvendige substitusjoner, vi har: f (x) = ln (x + 3) + C -> 1 = ln ((2) +3) + C -> 1-ln5 = C Vi kan nå omskrive f (x) som f (x) = ln (x + 3) + 1-ln5, og det er vårt siste svar. Hvis du vil, kan du bruke følgende naturlige loggegenskaper for å forenkle: lna-lnb = ln (a / b) Bruk dette til ln (x + 3) -ln5, vi får ln ((x + 3) / 5) , så vi kan videre uttrykke vårt svar som f (x) = ln ((x + Les mer »

Ln (x / 2) +1> Derivatet av lnx = 1 / x derfor er anti-derivatet av 1 / x "lnx rArrF (x) = int1 / x dx = lnx + c For å finne c, bruk f 2) = 1 ln2 + c = 1 c = 1 - ln2 rArr F (x) = lnx + 1-ln2 ved hjelp av lnx-lny = ln (x / y) "for å forenkle" rArr int1 / x dx = ln x / 2) 1 Les mer »

F (x) = 1 / 3x ^ 3 - 3 / 2x ^ 2 + 13/3 Integrering f (x): x ^ 3/3 - 3 / 2x ^ 2 + cf (2) = 1 muliggjør integrasjonskonstanten c) funnet ved å evaluere for x = 2, y = 1 rArr 2 ^ 3/3 -3 xx 2 ^ 2/2 + c = 1 rArr 8/3 - 6 + c = 1 rArr c = 1 + 6 - 8/3 = 13/3 rArr f (x) = 1/3 x ^ 3 - 3/2 x ^ 2 + 13/3 Les mer »

Jeg fant: f (x) = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + 13/3 Vi løser ubestemt integral: int (x ^ 2 + x-3) dx = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + c og så bruker vi vår tilstand for å finne c: f (2) = 3 = (2 ^ 3) / 3 + (2 ^ 2) / 2- (3 * 2) + c så: 3 = 8/3 + 4 / 2-6 + cc = 3-8 / 3-2 + 6 c = 7-8 / 3 = (21-8) / 3 = 13/3 og slutt: f (x) = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3 x + 13/3 Les mer »

F (x) = (x ^ 2) / 2-3x + 7f (x) = intx-3 dx = (x ^ 2) / 2-3x + c Subbing i 2, f (2) = (2) (2) = 3, -4 + c = 3 c = 7: .f (x) = (x ^ 2) / 2-3 x + 7 Les mer »

F (x) = xe ^ xe ^ x + 3-e ^ 2 f (x) = intxe ^ xdx, f (2) = 3 vi bruker integrasjon av deler f (x) = intu (dv) / (dx) dx = uv-intv (du) / (dx) dx i dette tilfellet u = x => (du) / (dx) = 1 (dv) / (dx) = e ^ x => v = e ^ x: .f (x) = xe ^ x-inte ^ xdx f (x) = xe ^ xe ^ x + cf (2) = 3:. f (2) = 3 = 2e ^ 2-e ^ 2 + c c = 3-e ^ 2 f (x) = xe ^ x-e ^ x + 3-e ^ 2 Les mer »

Sqrt (1 + x ^ 2) -1/21n (abs (sqrt (1 + x ^ 2) +1)) + 1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) -1)) + C Bruk deg ^ 2 = 1 + x ^ 2, x = sqrt (u ^ 2-1) 2u (du) / (dx) = 2x, dx = (udu) / x intsqrt (1 + x ^ 2) / xdx = int usqrt (1 + x ^ 2)) / x ^ 2du intu ^ 2 / (u ^ 2-1) du = int1 + 1 / (u ^ 2-1) du 1 / (u ^ 2-1) = 1 / (u + 1) (u-1)) = A / (u + 1) + B / (u-1) 1 = A (u-1) + B (u + 1) u = 1 1 = 2B, B = 1/2 u = -1 1 = -2A, A = -1/2 int1-1 / (2 (u + 1)) + 1 / (2 (u-1)) du = u-1 / 2ln (abs (u + 1)) + 1 / 2ln (abs (u-1)) + C Å sette u = sqrt (1 + x ^ 2) tilbake i gir: sqrt (1 + x ^ 2) -1/21n abs (sqrt (1 + x ^ 2) 1)) + 1 / 2ln (abs (sqrt Les mer »

(x, y), (x, y) -> (rcostheta, rsintheta) r = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) theta = tan ^ -1 (y / x) r = sqrt (13 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (169 + 1) = sqrt (170) = 13,0 theta = tan ^ -1 (1/13) = 0,0768 ^ c (13,1) -> (sqrt (170), tan ^ -1 (1/13)) = = 13,0,0,0768 ^ c) Les mer »

Dette kan ikke besvares uten kontekst. Her er noen av bruken i matematikk. Et sett har uendelig kardinalitet hvis den kan kartlegges en-til-en på en riktig delmengde av seg selv. Dette er ikke bruk av uendelig i kalkulator. I Calculus bruker vi "uendelig" på tre måter. Intervallnotasjon: Symbolene oo (henholdsvis -oo) brukes til å indikere at et intervall ikke har et høyre (henholdsvis venstre) endepunkt. Intervallet (2, oo) er det samme som settet x Infinite Limits Hvis en grense ikke eksisterer fordi når x nærmer seg a, øker verdiene av f (x) uten bundet, så skriver Les mer »

Øyeblikkelig hastighet er hastigheten som en gjenstand beveger seg på akkurat det øyeblikk som er spesifisert. Hvis jeg reiser nordover til nøyaktig 10m / s i nøyaktig ti sekunder, så sving vest og kjør nøyaktig 5m / s i ytterligere ti sekunder nøyaktig, min gjennomsnittlige hastighet er omtrent 5,59m / s i en (omtrent) nord-nordvest retning. Imidlertid er den øyeblikkelige hastigheten min hastighet på et gitt punkt: på nøyaktig fem sekunder i min tur er min øyeblikkelige hastighet 10m / s nord; på nøyaktig femten sekunder inn, er det 5m / s ve Les mer »

L'hopital regelen brukes primært til å finne grensen som x-> a av en funksjon av formen f (x) / g (x), når grensene for f og g ved a er slik at f (a) / g (a) resulterer i en ubestemt form, for eksempel 0/0 eller oo / oo. I slike tilfeller kan man ta grensen for derivatene av disse funksjonene som x-> a. Dermed vil man beregne lim_ (x-> a) (f '(x)) / (g' (x)), som vil være lik grensen til den opprinnelige funksjonen. Som et eksempel på en funksjon der dette kan være nyttig, vurder funksjonssyn (x) / x. I dette tilfellet er f (x) = sin (x), g (x) = x. Som x-> 0, sin (x) - Les mer »

L'Hopital's Rule Hvis {(lim_ {x til a} f (x) = 0 og lim_ {x til a} g (x) = 0), (eller), (lim_ {x til a} f (x) = pm infty og lim_ {x til a} g (x) = pm infty):} deretter lim_ {x til a} {f (x)} / {g (x)} = lim_ {x til a} {f ' x)} / {g '(x)}. Eksempel 1 (0/0) lim_ {x til 0} {sinx} / x = lim_ {x til 0} {cosx} / 1 = {cos (0)} / 1 = 1/1 = 1 Eksempel 2 (infty / ifty) lim_ {x til infty} {x} / {e ^ x} = lim_ {infty} {1} / {e ^ x} = 1 / {e ^ {infty}} = {1} / {infty} = 0 Jeg håper at dette var nyttig. Les mer »

X = -4 og -8/5 Så er en vertikal asymptote en linje som strekker seg vertikalt til uendelig. Hvis vi merker det, innebærer det at y-koordinatet av kurven nå langt Uendelig. Vi vet at uendelig = 1/0 Så, når det sammenlignes med f (x), betyr det at nevneren av f (x) skal være null. Derfor (5x + 8) (x + 4) = 0 Dette er en kvadratisk ligning hvis røtter er -4 og -8/5. Derfor, ved x = -4, -8/5 har vi vertikale asymptoter Les mer »

Sek (5x) brunfarge (5x) * 5 Derivatet av sek (x) er sek (x) tan (x). Men siden vinkelen er 5x og ikke bare x, bruker vi kjedestyren. Så vi multipliserer igjen med derivatet av 5x som er 5. Dette gir oss vårt endelige svar som sek (5x) tan (5x) * 5 Håper som hjalp! Les mer »

Hvis du foretrekker Leibniz-notasjon, er andre derivat betegnet (d ^ 2y) / (dx ^ 2). Eksempel: y = x ^ 2 dy / dx = 2x (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2 Hvis du liker primærnotasjonen, er andre derivat betegnet med to primærkarakterer, i motsetning til det ene merket med først derivater: y = x ^ 2 y '= 2x y' '= 2 Tilsvarende, hvis funksjonen er i funksjonsnotasjon: f (x) = x ^ 2 f' (x) = 2x f '' (x) = 2 De fleste folk er kjent med begge notatene, slik at det vanligvis ikke betyr noe hvilken notasjon du velger, så lenge folk kan forstå hva du skriver. Jeg foretrekker Leibniz-notatet, fo Les mer »

En rasjonell funksjon er hvor x er under brøkstangen. Delen under linjen kalles nevneren. Dette setter grenser på domenet til x, som nevneren kanskje ikke virker som 0 Enkelt eksempel: y = 1 / x domenet: x! = 0 Dette definerer også den vertikale asymptoten x = 0, fordi du kan lage x så nært til 0 som du vil, men aldri nå det. Det gjør en forskjell om du beveger deg mot 0 fra den positive siden av det negative (se grafen). Vi sier lim_ (x-> 0 ^ +) y = oo og lim_ (x-> 0 ^ -) y = -oo Så det er en diskontinuitetsgraf {1 / x [-16.02, 16.01, -8.01, 8.01]} På den annen side: Hvis Les mer »

F '(x) = 72x-18 Generelt angir produktregelen at hvis f (x) = g (x) h (x) med g (x) og h (x) noen funksjoner av x, så f' x) = g '(x) h (x) + g (x) h' (x). I dette tilfellet g (x) = 6x-4 og h (x) = 6x + 1, så g '(x) = 6 og h' (x) = 6. Derfor f (x) = 6 (6x + 1) +6 (6x-4) = 72x-18. Vi kan sjekke dette ved å utarbeide produktet av g og h først, og deretter differensiere. f (x) = 36x ^ 2-18x-4, så f '(x) = 72x-18. Les mer »

Den absolutte ekstreme av en funksjon i et lukket intervall [a, b] kan være eller lokal ekstrem i det intervallet, eller poengene hvis ascissae er a eller b. Så, la oss finne den lokale extremaen: y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (x ^ 2 + 1) ^ 2. y '> = 0 hvis -x ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1. Så vår funksjon er decresing i [-2, -1) og i (1,2) og den vokser i (-1,1), og så er punktet A (-1-1) et lokalt minimum og punktet B (1,1) er et lokalt maksimum. La oss nå finne ordinaten av punktene i ekstremt av intervallet: y Les mer »

Minimumspunktet ved (1 / e, -1 / e) gitt f (x) = x * ln x oppnår det første derivatet f '(x) og deretter ekvate til null. f = x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 / ef (x) = (1 / e) * ln (1 / e) f (x) = (1 / e) * (- 1) f (x) = - 1 / e så punktet , -1 / e) ligger ved fjerde kvadrant som er et minimumspunkt. Les mer »

(ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4))) La oss omskrive den som: [(xln (x ^ 4)) ^ (1/2)] 'Nå må vi avlede fra utsiden til innsiden ved hjelp av kjederegelen. 1/2 [xln (x ^ 4)] ^ (- 1/2) * [xln (x ^ 4)] 'Her har vi et derivat av et produkt 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ 1/2 (xln) x (ln (x ^ 4))] 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [1 * ln (x ^ 4) + x (1 / x ^ 4 * 4x ^ 3)] Bare å bruke grunnleggende algebra for å få en semplifisert versjon: 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [ ln (x ^ 4) +4] Og vi får løsningen: (ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4)) Forresten kan du til og med omskrive det indre problem Les mer »

Avstandsfunksjonen er: D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) La oss manipulere dette. = sqrt (Deltax) ^ 2 + (Deltag) ^ 2 / (Deltax) ^ 2 (Deltax) ^ 2) = sqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax Siden antiderivativet er i utgangspunktet en ubestemt integral, blir dette en uendelig sum av uendelig liten dx: = sumsqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax = int sqrt (1 + (dy) / (dx)) 2 2 dx som skjer for å være formelen for buelengden av en hvilken som helst funksjon du lett kan integrere etter manipuleringen. Les mer »

Jeg finner det enklere å tenke på dette ser på derivatet først. Jeg mener: hva, etter å ha blitt differensiert, ville resultere i en konstant? Selvfølgelig, en førstegrad variabel. Hvis din differensiering for eksempel resulterte i f '(x) = 5, er det tydelig at antidivivativet er F (x) = 5x Så, antidivivative av en konstant er det ganger den aktuelle variabelen (det være seg x, y, etc .) Vi kunne sette det på denne måten, matematisk: intcdx <=> cx Merk at c er mutiplying 1 i integralet: intcolor (green) (1) * cdx <=> cx Det betyr at førstegradsvari Les mer »

L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)) enheter. > r = 3 / 4theta r ^ 2 = 9 / 16theta ^ 2 r '= 3/4 (r') ^ 2 = 9/16 Arklang er gitt av: L = int_-pi ^ pisqrt (9 / 16theta ^ 2 + 9/16) d theta Forenkle: L = 3 / 4int_-piqq (theta ^ 2 + 1) d theta Fra symmetri: L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Påfør substitusjonen theta = tanphi: L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi Dette er en kjent integral: L = 3/4 [secphitanphi + ln | secphi + tanphi |] Omvendt substitusjon: L = 3/4 [thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln | theta + sqrt (theta ^ 2 + 1) |] _0 ^ pi Sett inn grensene for integrasjon: L Les mer »

Ca 27.879 Dette er en skissemetode. Malen av noe av arbeidet har blitt gjort på datamaskinen. Arc lengde s = int dot s dt og dot s = sqrt (vec v * vec v) Nå, for vec r = 4 theta hat r vec v = dot r hat r + r dot theta hat theta = 4 dot theta hue r + 4 theta dot theta hat theta = 4 dot theta (hat r + theta hat theta) Så prikk s = 4 dot theta sqrt (1 + theta ^ 2) Buklengde s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2 ) (1 + theta ^ 2) dot theta dt = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2) d theta = 2 [theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta] _ (- pi / 4) ^ (pi) datamaskinløsning. Se Youtube koblet her for metod Les mer »

Arc lengde ~~ -2.42533 (5dp) Buen lengden er negativ på grunn av at den nedre grensen 1 er større enn den øvre grensen til ln2 Vi har en parametrisk vektorfunksjon gitt av: bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> For å beregne buelengden vil vi kreve vektorderivatet, som vi kan beregne ved hjelp av produktregelen: bb ul r '(t) = (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >>, t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> Så beregner vi størrelsen på derivatvektoren: | bb ul r '(t) | = sqrt (2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2)) ^ 2 + (t ^ 2e ^ t + 2t Les mer »

Sqrt (3) Vi søker bue lengden på vektorfunksjonen: bb (ul r (t)) = << t, t, t >> for t i [1,2] Som vi lett kan evaluere ved hjelp av: L = int_alpha ^ beta || bb (ul (r ') (t)) || dt Så beregner vi derivatet, bb (ul (r ') (t)): bb (ul r' (t)) = << 1,1,1 >> Slik får vi buelengden: L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt = [sqrt (3) t] _1 ^ 2 = sqrt (3) (2-1) = sqrt (3) Dette trivielle resultatet bør ikke komme som en overraskelse, da den gitte opprinnelige ligningen er den rette linjen. Les mer »

V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) For å beregne dette volumet, vil vi på en eller annen måte skære det inn i (uendelig slanke) skiver. Vi forestiller regionen, for å hjelpe oss med dette, har jeg vedlagt grafen der regionen er delen under kurven. Vi merker at y = x ^ 2-1 krysser linjen x = 5 hvor y = 24 og at den krysser linjen y = 0 hvor x = 1 graf {x ^ 2-1 [1, 5, -1, 24] } Når du skjærer denne regionen i horisontale skiver med høyde dy (en veldig liten høyde). Lengden på disse skivene avhenger veldig mye av y-koordinaten. For å beregne denne len Les mer »

Dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ (2/3) Multipliser terningroten av t i parentesene, vi får y = (t ^ (2 + 1 / 3)) + 4 * t ^ (1/3) Dette gir oss y = t ^ (7/3) + 4t ^ (1/3) Ved differensiering får vi dy / dx = (7 * t ^ / 3)) / 3 + (4 * t ^ (- 2/3)) / 3 Som gir, dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ 2/3) Les mer »

98 Gjennomsnittlig verdi av f på [a, b] er 1 / (b-a) int_a ^ bf (x) dx. For dette problemet er det 1 / (10-0) int_0 ^ 10 (18x + 8) dx = 1/10 [9x ^ 2 + 8x] _0 ^ 10 = 1/10 [980] = 98. Les mer »

Gjennomsnittlig verdi er 4948/5 = 989,6 Gjennomsnittlig verdi av f på intervallet [a, b] er 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Så får vi: 1 / (2-0) int_0 ^ 2 2x ^ 3 x x 2 + 1 x 4 dx = 2/2 int_0 ^ 2 x ^ 3 (x ^ 8 + 4x ^ 6 + 10x ^ 4 + 4x ^ 2 + 1) dx = int_0 ^ 2 (x ^ 11 + 4x ^ 9 + 10x ^ 7 + 4x ^ 5 + x ^ 3) dx = x ^ 12/12 + (4x ^ 10) / 10 + (6x ^ 8) / 8 + (4x ^ 6) / 6 + x ^ 4/4] _0 ^ 2 = (2) ^ 12/12 + (2 (2) ^ 10) / 5 + (3) 2) ^ 4 + (2) ^ 6/3 + 2) ^ 4/4 = 4948/5 = 9896/10 = 989,6 Les mer »

1 / 2sin (2), omtrent 0,4546487 Gjennomsnittlig verdi c av en funksjon f på intervallet [a, b] er gitt av: c = 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Her oversettes dette til gjennomsnittet verdien av: c = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx La oss bruke substitusjonen u = x / 2. Dette innebærer at du = 1 / 2dx. Vi kan deretter omskrive integralet som sådan: c = 1 / 4int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx c = 1 / 2int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2dx) Splitting up 1 / 4 til 1/2 * 1/2 tillater 1 / 2dx å være til stede i integralet slik at vi enkelt kan gjøre substitusjonen 1 / 2dx = du. Vi må også Les mer »

Gjennomsnittlig verdi er 16/3 Gjennomsnittlig verdi av en funksjon f på et intervall [a, b] er 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Så verdien vi søker er 1 / (5-1) int_1 ^ 5 (x-1) ^ 2 dx = 1/4 [(x-1) ^ 3/3] _1 ^ 5 = 1/12 [(4) ^ 3- (0) ^ 3] = 16/3 Les mer »

Det er (4 (sqrt2-1)) / pi Den gjennomsnittlige verdien av en funksjon f på et intervall [a, b] er 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Så verdien vi søker er 1 / / 4-0) int_0 ^ (pi / 4) sekxtanx dx = 4 / pi [sekx] _0 ^ (pi / 4) = 4 / pi [sek (pi / 4) -sec (0)] = 4 / sqrt2-1] = (4 (sqrt2-1)) / pi Les mer »

Den gjennomsnittlige verdien av f på [a, b} er 1 / (b-a) int_a ^ bf (x) dx. For denne funksjonen på dette intervallet får jeg -1/3 Ave = 1 / (2-0) int_0 ^ 2 (xx ^ 2) dx = 1/2 [x ^ 2/2-x ^ 3/3] _0 ^ 2 = 1/2 [(4 / 2-8 / 3) - (0)] = 1/2 (-2/3) = -1/3 Les mer »

Se nedenfor. Gjennomsnittlig verdi er 1 / (sqrtpi-0) int_0 ^ sqrtpi 10xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpiint_0 ^ sqrtpi 2xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpi [-cos (x ^ 2)] _ 0 ^ sqrtpi = 12 / sqrtpi Pedantic Note (12sqrtpi) / pi har IKKE en rasjonell nevner. Les mer »

Ta integralen int_1 ^ ooxe ^ -xdx, som er endelig, og merk at den grenser sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Derfor er det konvergent, så sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) er også. Den formelle setningen av integralprøven sier at hvis fin [0, oo) rightarrowRR en monoton reduksjon funksjon som ikke er negativ. Så sum summen (n = 0) ^ oof (n) er konvergent hvis og bare hvis "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx er endelig. (Tau, Terence. Analyse I, andre utgave. Hindustan bokbyrå. 2009). Denne utsagnet kan virke litt teknisk, men ideen er følgende. I dette tilfellet tar funksjonen f (x) = xe ^ ( Les mer »

D) f (x) = x ^ 3, c = 3 Definisjonen av et derivat av en funksjon f (x) ved et punkt c kan skrives: lim_ (h-> 0) (f (c + h) (c)) / h I vårt tilfelle kan vi se at vi har (3 + h) ^ 3, så vi kan gjette at funksjonen er x ^ 3, og at c = 3. Vi kan verifisere denne hypotesen hvis vi skriver 27 som 3 ^ 3: lim_ (h-> 0) (3 + h) ^ 3-27) / h = lim_ (h-> 0) ((3 + h) ^ 3 -3 ^ 3) / h Vi ser at hvis c = 3, ville vi få: lim_ (h-> 0) ((c + h) ^ 3-c ^ 3) / h Og vi kan se at funksjonen er bare en verdi i begge tilfeller, så funksjonen må være f (x) = x ^ 3: lim_ (h-> 0) ((tekst (///)) ^ 3- (tekst Les mer »

B) f (x) = cos (x), c = pi / 6 Vi vet: cos (pi / 6) = sqrt3 / 2 Dette betyr at vi kan omskrive grensen slik: lim_ (h-> 0) pi / 6 + h) -koser (pi / 6)) / h Med tanke på definisjonen av et derivat av en funksjon f (x) ved et punkt c: lim_ (h-> 0) (f (c + h) (c)) / h En rimelig gjetning er at c = pi / 6, og ved å bruke det, kan vi se at inngangene til cosinusfunksjonen stemmer overens med inngangene til f (x) i definisjonen: lim_ (h- > Cos (farge (rød) (c + h)) - cos (farge (rød) (c))) / h Dette betyr at hvis c = pi / 6, så f (x) = cos ). Les mer »

Int (1-sin ^ 2 (x)) / sin ^ 2 (x) dx = -cot (x) -x + C Vi kan først dele brøkdelen i to: int (1-sin ^ 2 ) / sin ^ 2 (x) dx = int 1 / sin ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) / sin ^ 2 (x) dx = = int 1 / sin ^ 2 -1 dx = int 1 / sin ^ 2 (x) dx-x Vi kan nå bruke følgende identitet: 1 / sin (theta) = csc (theta) int csc ^ 2 (x) dx-x Vi vet at derivatet av barneseng (x) er -csc ^ 2 (x), slik at vi kan legge til et minustegn både utenfor og inne i integralet (slik at de avbryter) for å utarbeide det: -int -csc ^ 2 ( x) dx-x = -cot (x) -x + C Les mer »

Sinh (1/2) ~~ 0.52 Vi kjenner definisjonen for sinh (x): sinh (x) = (e ^ xe ^ -x) / 2 Siden vi kjenner Maclaurin-serien for e ^ x, kan vi bruke den til konstruer en for sinh (x). e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) ... Vi finner serien for e ^ - x ved å erstatte x med -x: e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / !) x ^ n = 1-x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) ... Vi kan trekke disse to fra hverandre for å finne tenneren til sinhdefinisjonen: farge (hvit) e ^ -x.) e ^ x = farge (hvit) (....) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) ... f Les mer »

Dy / dx = 5 (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 4-3 (4 + x) ^ 5 (5-x) 2 y = (5-x) 5 dy / dx = d / dx [(5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 5] farge (hvit) (dy / dx) = (5-x) ^ 3d / dx [(4 + x) ^ 5] + (4 + x) ^ 5d / dx [(5-x) 3] farge (hvit) (dy / dx) = (5-x) 1) * d / dx [4 + x]) + (4 + x) ^ 5 (3 * (5-x) ^ (3-1) * d / dx [5-x]) farge (hvit) / dx) = (5-x) ^ 3 (5 (4 + x) ^ 4 (1)) + (4 + x) ^ 5 (3 x 5) (dy / dx) = 5 (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 4-3 (4 + x) ^ 5 (5-x) ^ 2 Les mer »

Dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) Du må bruke kjedelinjen. Husk at formelen for dette er: f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x) Ideen er at du tar derivatet av den ytre funksjonen først, og så jobber du bare veien inne. Før vi starter, la oss identifisere alle våre funksjoner i dette uttrykket. Vi har: arcsin (x) (3x) / 4 arcsin (x) er den ytre funksjonen, så vi starter med å ta derivatet av det. Så: dy / dx = farge (blå) (d / dx [arcsin (3x / 4)] = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2))) Legg merke til hvordan vi fremdeles beholder det ((3x) / 4) der inne. Husk at når d Les mer »

Int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C Vi starter med en u-substitusjon med u = ln (x). Vi deler deretter med derivatet av deg for å integrere med hensyn til deg: (du) / dx = 1 / x int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du Nå må vi løse for x i form av u: u = ln (x) x = e ^ u int x * x ^ u = du = int e ^ u * (e ^ u) 2 + u) du Du kan gjette at dette ikke har et elementært anti-derivat, og du ville ha rett. Vi kan imidlertid bruke skjemaet for den imaginære feilfunksjonen, erfi (x): erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx For å få vårt integral i dette skjemae Les mer »

Se nedenfor. Med tanke på abs x <1 sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) x) ^ n men sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 og d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 da sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1 ) ^ 3 Les mer »

Int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = ln (1 + cosh (x)) + C Vi begynner med å introdusere en u-substitusjon med u = 1 + cosh (x). Derivatet av deg er så sinh (x), så vi deler gjennom sinh (x) for å integrere med hensyn til u: int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = int avbryt (x)) / (avbryt (sinh (x)) * u) du = int 1 / u du Dette integralet er fellesintegralet: int 1 / t dt = ln | t | + C Dette gjør vår integral: ln | u | + C Vi kan erstatte for å få: ln (1 + cosh (x)) + C, som er vårt siste svar. Vi fjerner absoluttverdien fra logaritmen fordi vi merker at cosh er positiv på dome Les mer »

4 = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [sum_ {i = 1} ^ {i = n} i ^ 2] + (3 / n) [sum_ {i = 1} ^ {i = n} 1] "(Faulhaber formel)" = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [(n (n + 1) (2n + 1)) / 6] + (3 / n) ] = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [n ^ 3/3 + n ^ 2/2 + n / 6] + (3 / n) [n] = lim_ {n-> oo} [1 + ((3/2)) / n + ((1/2)) / n ^ 2 + 3] = lim_ {n-> oo} [1 + 0 + 0 + 3] = 4 Les mer »

Se nedenfor. Dessverre integreres ikke funksjonen inne i integralet til noe som ikke kan uttrykkes når det gjelder elementære funksjoner. Du må bruke numeriske metoder for å gjøre dette. Jeg kan vise deg hvordan du bruker en serieutvidelse for å få en omtrentlig verdi. Begynn med den geometriske serien: 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 ... = sum_ (n = 0) ^ over ^ n for rlt1 Nå integrere med hensyn til r og bruker grensene 0 og x for å få dette: int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + ... dr Integrering av venstre side: int_0 ^ x1 / (1-r) dr = [- l Les mer »

Kjederegel: f '(g (x)) * g' (x) I differensialkalkulat bruker vi Kjederegelen når vi har en sammensatt funksjon. Det står: Derivatet vil være lik avledet av den ytre funksjonen med hensyn til innsiden, ganger derivatet av den innvendige funksjonen. La oss se hva som ser ut som matematisk: Kjederegel: f '(g (x)) * g' (x) La oss si at vi har komposittfunksjonssyn (5x). Vi vet: f (x) = sinx => f '(x) = cosx g (x) = 5x => g' (x) = 5 Så derivatet vil være lik cos (5x) * 5 = 5cos ) Vi må bare finne våre to funksjoner, finne deres derivater og input til Chain Rule-u Les mer »

Vi vet at en funksjon kan tilnærmet denne formelen f (x) = sum_ {k = 0} ^ {n} frac {f ^ (k)) (x_0)} {k!} (X-x_0) ^ k + R_n (x) hvor R_n (x) er resten. Og det virker hvis f (x) er avledbar n ganger i x_0. La oss nå anta at n = 4, ellers er det for mye komplisert å beregne derivatene. La oss beregne for hver k = 0 til 4 uten å vurdere resten. Når k = 0 blir formelen: frac {e ^ (2/0)} {0!} (X-0) ^ 0 Og vi ser at e ^ (2/0) er undifiend, så funksjonen kan ikke bli tilnærmet i x_0 = 0 Les mer »

Her er en tilnærming ... La oss se ... En lineær er i skjemaet f (x) = mx + b hvor m er skråningen, x er variabelen, og b er y-avskjæringen. (Du visste det!) Vi kan finne konkaviteten til en funksjon ved å finne dens doble derivat (f '' (x)) og hvor den er lik null. La oss gjøre det da! F (x) = mx + b => f '(x) = m * 1 * x ^ (1-1) +0 => f' (x) = m * 1 => f ' > f '' (x) = 0 Så dette forteller oss at lineære funksjoner må kurve ved hvert gitt punkt. Å vite at grafen for lineære funksjoner er en rett linje, dette gir ikke mening, gj Les mer »

Så jeg må også bruke kjederegelen på (x + 1) ^ 2 dy / dx = u'v + v'u u '= 2 (x + 1) * 1 v' = 2 u = (x + 1) ^ 2 v = (2x-1) subbing inn i produktregelen. dy / dx = 2 (2x + 1) * (2x-1) + 2 (x + 1) ^ 2 dy / dx = 2 (4x ^ 2-1) + 2 (x ^ 2 + 2x + 1) dy / dx = 8x ^ 2-2 + 2x ^ 2 + 4x + 2 dy / dx = 10x ^ 2 + 4x Les mer »

.Jeg tror at det ikke er standardisert. Som student ved et universitet i USA i 1975 bruker vi Calculus av Earl Swokowski (første utgave). Hans definisjon er: Et punkt P (c, f (c)) på grafen av en funksjon f er et bøyningspunkt hvis det finnes et åpent intervall (a, b) som inneholder c slik at følgende relasjoner holder: (i) farge (hvit) (')' 'f' '(x)> 0 hvis a <x <c og f' '(x) <0 hvis c <x <b; eller (ii) "" f '' (x) <0 hvis a <x <c og f '' (x)> 0 hvis c <x <b. (s. 146) I en lærebok jeg bruker til å u Les mer »

Dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) dy / dx = cosx xx e ^ x + e ^ xxx sinx dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) Les mer »

Dette er eksponentiell funksjon av base b (hvor b> 0 bør antas). Det kan tenkes som b x = e ^ (xln (b)), slik at ved bruk av kjederegelen (se kjederegel) og det faktum at (e ^ x) '= e ^ x (se eksponensialer med base e) utbytter (bx) '= e ^ (xln (b)) ganger ln (b) = b ^ x ganger ln (b) (se eksponentielle funksjoner). Les mer »

Derivatet av 10x med hensyn til x er 10. La y = 10x Differensiere y med hensyn til x. (dy) / (dx) = xd / (dx) (10) + 10d / (dx) (x) [sinced / (dx) (uv) = dl (dx) v + vd / (dx) u] dy) / (dx) = x (0) +10 (1) [d / (dx) (const) = 0; d / (dx) x) = 1] (dy) / (dx) = 10 Derivatet av 10x med hensyn til x er 10. Les mer »

Det er en regel for å differensiere disse funksjonene (d) / (dx) [a ^ u] = (ln a) * (a ^ u) * (du) / (dx) Merk at for vårt problem a = 10 og u = x så la oss plugge inn det vi kjenner. (d) / (dx) hvis u = x da, (du) / (dx) = 1 på grunn av effekten (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * regelen: (d) / (dx) [x ^ n] = n * x ^ (n-1) så tilbake til vårt problem, (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * 10 ^ x) * (1) som forenkler til (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * (10 ^ x) Dette ville fungere det samme hvis du var noe mer komplisert enn x. Mye kalkulator omhandler evnen til å forholde det gitte problemet til Les mer »

D / dx2 ^ (sin (pix)) = 2 ^ (sin (pix)) * ln2 * cospix * (pi) Ved å bruke følgende standardregler for differensiering: d / dxa ^ (u (x)) = a ^ u * lna * (du) / dx d / dx sinu (x) = cosu (x) * (du) / dx d / dxax ^ n = nax ^ (n-1) Vi oppnår følgende resultat: d / dx2 ^ (pix)) = 2 ^ (sin (pix)) * ln2 * cospix * (pi) Les mer »

(d) (2pir)) / (dr) farge (hvit) ("XXX") = 2pi (dr) / (dr) ved Konstantregel for derivater farge (hvit) ("XXX") = 2pi ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Den konstante regel for derivater forteller oss at hvis f ( x) = c * g (x) for noen konstante c da f '(x) = c * g' (x) I dette tilfellet f (r) = 2pir; c = 2pi og g (r) = r Les mer »

D / (dx) (- 4 / x ^ 2) = 8x ^ (- 3) Gitt, -4 / x ^ 2 Skriv om uttrykket med (dy) / (dx) notasjon. d / (dx) (- 4 / x ^ 2) Bryt fraksjonen. = d / (dx) (- 4 * 1 / x ^ 2) Ved å bruke multiplikasjonen med en konstant regel, (c * f) '= c * f', ta ut -4. = -4 * d / (dx) (1 / x ^ 2) Omskriv 1 / x ^ 2 ved hjelp av eksponenter. = X * d / (dx) (x ^ -2) Ved hjelp av kraftregelen d / (dx) (x ^ n) = n * x ^ (n-1) blir uttrykket, = -4 * - 2x ^ (- 2-1) Forenkle. = Farge (grønn) (| bar (ul (farge (hvit) (a / a) farge (sort) (8x ^ -3) farge (hvit) (a / a) |))) Les mer »

D / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = - 6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 Jeg synes det er lettest å tenke i form av eksponentformen og bruk kraftregelen: d / dx) x ^ n = nx ^ (n-1) som følger: d / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = d / (dx) (5 + 6x ^ ) + 3x ^ (- 2)) = 0 + 6 ((-1) x ^ (-2)) + 3 ((2) x ^ (-3)) = -6x ^ (-2) (-3) = -6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 Les mer »

-5 nå er strømregelen for differensiering: d / (dx) (ax ^ n) = anx ^ (n-1): .d / (dx) (- 5x) = d / (dx) (- 5x ^ 1 ) = -5xx1xx x ^ (1-1) ved hjelp av kraftregelen = -5x ^ 0 = -5 hvis vi bruker definisjonen (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (f (x + h) -f (x)) / h vi har (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5 (x + h) -5x) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) 5x-5h + 5x) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5h) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5) = - 5 som før Les mer »

D / dx | u | = u / | u | * (du) / dx absolutt verdi funksjon som y = | x-2 | kan skrives slik: y = sqrt ((x-2) ^ 2) bruk differensiering: y '= (2 (x-2)) / (2sqrt ((x-2) ^ 2)) rarrpower regel forenkle, y '= (x-2) / | x-2 | hvor x! = 2 så generelt d / dxu = u / | u | * (du) / dx Jeg vil sette dette på dobbeltsjekk bare for å være sikker. Les mer »

Jeg antar at du refererer til den liksidige hyperbola, da det er den eneste hyperbola som kan uttrykkes som reell funksjon av en ekte variabel. Funksjonen er definert av f (x) = 1 / x. Per definisjon er forall x i (-infty, 0) kopp (0, + infty) derivatet: f '(x) = lim_ {h til 0} {f (x + h) -f (x)} / { h} = lim_ {h til 0} {1 / {x + h} -1 / x} / {h} = lim_ {h til 0} {{x- (x + h)} / {(x + h) x}} = {h til 0} {- 1} / {x ^ 2 + hx} = - 1 / x ^ 2 Dette kan også oppnås ved følgende avledningsregel forall alpha ne 1: (x ^ alpha) '= alfa x ^ {alfa-1}. I dette tilfellet, for alpha = -1, får du (1 / x) '= Les mer »

5 Ikke helt sikker på notatet ditt her. Jeg tolker dette som: f (x) = 5x Derivat: d / dx 5x = 5 Dette oppnås ved å bruke kraftregelen: d / dx x ^ n = n * x ^ (n-1) Fra eksempel: d / dx 5x ^ 1 = (1) * 5x ^ (1-1) = 5 * x ^ 0 = 5 * 1 = 5 Les mer »

En sidebeskrivelse til å begynne med: notasjonen cos ^ -1 for invers cosinus-funksjonen (mer eksplisitt er den inverse funksjonen til begrensningen av cosinus til [0, pi]) utbredt, men misvisende. Faktisk antyder standardkonvensjonen for eksponenter ved bruk av trig-funksjoner (f.eks. Cos ^ 2 x: = (cos x) ^ 2 at cos ^ (- 1) x er (cos x) ^ (- 1) = 1 / (cos x). Selvfølgelig er det ikke, men notasjonen er veldig misvisende. Alternativet (og ofte brukt) notatet arccos x er mye bedre. Nå for derivatet. Dette er en kompositt, så vi vil bruke kjederegelen. vil trenge (x ^ 3) '= 3x ^ 2 og (arccos x)' = Les mer »

F '(x) = - 1 / (xsqrt (1-x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2 Ved hjelp av Quotient Rule, som er y = f (x) / g (x) '= (f' (x) g (x) -f (x) g '(x)) / (g (x)) ^ 2 Bruk dette for gitt problem, som er f (x) = (cos ^ -1x ) / xf '(x) = ((cos ^ -1x)' (x) - (cos ^ -1x) (x) ') / x ^ 2f' (x) = (- 1 / sqrt x ^ 2) * x-cos ^ -1x) / x ^ 2f '(x) = - 1 / (xsqrt (1-x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2, hvor -1 Les mer »

Ved implisitt differensiering, f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} La oss se på noen detaljer. Ved å erstatte f (x) med y, y = cot ^ {- 1} x ved å skrive om cotangent, Rightarrow coty = x ved å implisitt differensiere med hensyn til x, Rightarrow -csc ^ 2ycdot {dy} / {dx} = 1 ved å dividere med -csc ^ 2y, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {csc ^ 2y} ved trig identiteten csc ^ 2y = 1 + cot ^ 2y = 1 + x ^ 2, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {1 + x ^ 2} Derfor er f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} Les mer »

Dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) Prosess: 1.) y = "arccsc" (x) Først vil vi omskrive ligningen i en form som er lettere å jobbe med. Ta cosecant av begge sider: 2.) csc y = x Skriv om sinus: 3.) 1 / siny = x Løs for y: 4.) 1 = xsin y 5.) 1 / x = sin y 6. ) y = arcsin (1 / x) Nå bør det tas enklere å ta derivatet. Det er nå bare et spørsmål om kjederegelen. Vi vet at d / dx [arcsin alpha] = 1 / sqrt (1 - alfa ^ 2) (det er et bevis på denne identiteten som er plassert her) Så ta derivatet av funksjonen utenfor, multipliser med derivatet av 1 / x: 7.) dy / d Les mer »

F '(x) = e ^ (4x) / ln10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Forklaring: f (x) = e ^ (4x) log (1-x) Konvertering fra basen 10 til ef (x) = e ^ (4x) ln (1-x) / ln10 Bruke Produktregel, som er y = f (x) * g (x) y '= f (x) * g' x) + f '(x) * g (x) På samme måte som følger for det oppgitte problemet, f' (x) = e ^ (4x) / ln10 * 1 / (1-x) x) / ln10 * e ^ (4x) * (4) f '(x) = e ^ (4x) / ln10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Les mer »

I f (x) = ln (cos (x)) har vi en funksjon av en funksjon (det er ikke multiplikasjon, bare sayin '), så vi må bruke kjederegelen for derivater: d / dx (f (g ( x) = f '(g (x)) * g' (x) For dette problemet, med f (x) = ln (x) og g (x) = cos (x) = 1 / x og g '(x) = - sin (x), så plugger vi g (x) i formelen for f' (*) .d / dx (ln (cos (x))) = 1 / cos (x)) * d / dx (cos (x)) = (1) / (cos (x)) * (- sin (x)) = (- sin (x)) / cos (x) = (x). Dette er verdt å huske for senere når du lærer om integraler! Fortell dem dansmath besvart spørsmålet ditt! / Les mer »

Først vil vi omskrive funksjonen i form av naturlige logaritmer, ved å bruke regelen for endring av basis: f (x) = ln (e ^ x + 3) / ln4 Differensiering vil kreve bruk av kjederegelen: d / dx f (x) = l / ln 4 * d / (d (e ^ x + 3)) [ln (e ^ x + 3)] * d / dx [e x x 3] Vi vet at siden derivatet av ln x med hensyn til x er 1 / x, vil derivatet av ln (e ^ x + 3) i forhold til e ^ x + 3 være 1 / (e ^ x + 3). Vi vet også at derivatet av e ^ x + 3 med hensyn til x bare vil være e ^ x: d / dx f (x) = 1 / ln 4 * 1 / (e ^ x + 3) * (e ^ x ) Forenkling av utbytter: d / dx f (x) = (e ^ x) / (ln 4 (e x x 3)) Les mer »

F '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) løsning La oss y = ln (f (x)) Differensiering med hensyn til x ved hjelp av Kjederegel får vi, y' = 1 / f (x) * f '(x) På samme måte som følger for det oppgitte problemutbyttet, f' (x) = 1 / (e ^ x + 3) * e ^ x f '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) Les mer »

En sidebeskrivelse for å begynne med: noteringssyn ^ -1 for inverse sinusfunksjonen (mer eksplisitt er inversjonsfunksjonen av begrensningen av sinus til [-pi / 2, pi / 2]) utbredt, men misvisende. Faktisk, standardkonvensjonen for eksponenter ved bruk av trigfunksjoner (f.eks. Sin ^ 2 x: = (sin x) ^ 2 antyder at synd ^ (- 1) x er (sin x) ^ (- 1) = 1 / x). Selvfølgelig er det ikke, men notasjonen er veldig misvisende. Alternativet (og ofte brukt) notasjonen arcsin x er mye bedre. Nå for derivatet. Dette er en kompositt, så vi vil bruke kjederegelen. vil trenge (ln x) '= 1 / x (se kalkulator av logar Les mer »

F '(x) = 2 (cosec2x) Løsning f (x) = ln (tan (x)) la oss begynne med generelt eksempel, antar vi har y = f (g (x)), deretter bruker kjederegel, y' = f '(x)) * g' (x) Tilsvarende etter det oppgitte problemet, f '(x) = 1 / tanx * sec ^ 2x f' (x) = cosx / sinx * 1 / (cos ^ 2x) f '(x) = 1 / (sinxcosx) for å forenkle videre, vi multipliserer og deler med 2, f' (x) = 2 / (2sinxcosx) f '(x) = 2 / (sin2x) f' 2 (cosec2x) Les mer »

Metode 1: Vi begynner med å bruke regelen for endring av basis for å omskrive f (x) tilsvarende som: f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 Vi vet at d / dx [ln x] = 1 / x . (hvis denne identiteten ser ukjent, sjekk noen av videoene på denne siden for nærmere forklaring) Så, vil vi bruke kjedregeln: f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx [ln x / ln 6] Derivatet av ln x / 6 vil være 1 / (xln6): f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) Forenkling gir oss: f' = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) Metode 2: Det første som skal noteres er at bare d / dx ln (x) = 1 / x hvor ln = log_e. Med andre ord, bare hvi Les mer »

Jeg antar at ved logg du mente en logaritme med base 10. Bør ikke være et problem uansett siden logikken gjelder også for andre baser. Først vil vi bruke regelen for endring av basis: f (x) = y = ln (x ^ 2 + x) / ln (10) Vi kan vurdere 1 / ln10 for bare å være en konstant, så ta derivatet av teller og bruk kjederegelen: dy / dx = 1 / ln (10) * 1 / (x ^ 2 + x) * (2x + 1) Forenkle litt: dy / dx = (2x + 1) / 10) * (x ^ 2 + x)) Det er vårt derivat. Husk å ta derivater av logaritmer uten base e er bare et spørsmål om å bruke endringsbasen regel for å konvertere d Les mer »

Derivatet er f '(x) = (1-logx) / x ^ 2. Dette er et eksempel på Quotient Rule: Quotient Rule. Kvotientregelen sier at derivatet av en funksjon f (x) = (u (x)) / (v (x)) er: f '(x) = (v (x) u' (x) -u ) v '(x)) / (v (x)) ^ 2. For å si det mer kortfattet: f '(x) = (vu'-uv') / v ^ 2, hvor u og v er funksjoner (spesifikt teller og nevner av den opprinnelige funksjonen f (x)). For dette spesifikke eksempelet vil vi la u = logx og v = x. Derfor er du '= 1 / x og v' = 1. Ved å erstatte disse resultatene i kvotientregelen finner vi: f '(x) = (x xx 1 / x-logx xx 1) / x ^ 2 f' Les mer »

Ved kvotientregel, y '= {1 / x cdot x-lnx cdot 1} / {x ^ 2} = {1-lnx} / {x ^ 2} Dette problemet kan også løses av produktregelen y' = f '(x) g (x) + f (x) g (x) Den opprinnelige funksjonen kan også omskrives ved hjelp av negative eksponenter. f (x) = ln (x) / x = ln (x) * x ^ -1f '(x) = 1 / x * x ^ -1 + ln (x) * - 1x ^ -2f' ) = 1 / x * 1 / x + ln (x) * - 1 / x ^ 2f '(x) = 1 / x ^ 2-ln (x) / x ^ 2f' ln (x)) / x ^ 2 Les mer »

D / dx [sec ^ -1x] = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) Prosess: Først vil vi gjøre ligningen litt lettere å håndtere. Ta sekanten på begge sider: y = sec ^ -1 x sec y = x Neste, skriv om i cos: 1 / cos y = x Og løs for y: 1 = xcosy 1 / x = koselig y = arccos (1 / x) Dette ser nå mye lettere å skille fra. Vi vet at d / dx [arccos (alpha)] = -1 / (sqrt (1-alfa ^ 2)) slik at vi kan bruke denne identiteten så vel som kjederegelen: dy / dx = -1 / sqrt (1 / x ^ 2) * d / dx [1 / x] En liten forenkling: dy / dx = -1 / sqrt (1 - 1 / x ^ 2) * mer forenkling: dy / dx = 1 / (x ^ 2sqrt (1 - 1 / x ^ Les mer »

De fleste husker dette f'(x) = 1 / {sqrt {1-x ^ 2}} som en av derivatformler; Du kan imidlertid utlede det ved implisitt differensiering. La oss utlede derivatet. La y = sin ^ {- 1} x. Ved å skrive om sinus, siny = x Ved å implisitt differensiere med hensyn til x, koselig cdot {dy} / {dx} = 1 Ved å dele med koselig, {dy} / {dx} = 1 / cosy Ved koselig = sqrt { 1-sin ^ 2y}, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-sin ^ 2y} Ved siny = x, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-x ^ 2} Les mer »

Derivatet for dette eksemplet innebærer kjedestyringen og kraftregelen. Konverter kvadratroten til en eksponent. Bruk deretter Power Rule og Chain Rule. Deretter forenkle og fjern de negative eksponentene. f (x) = sqrt (1 + ln (x)) f (x) = (1 + ln (x)) ^ (1/2) f '(x) = (1/2) (1 + ln ) (X) = (1 + ln (x)) ^ ((- 1/2)) * (0 + 1 / x) 1 (x) = (1 + (x)) ^ ((- 1/2)) f '(x) = 1 / (2xsqrt (1 + ln (x ))) Les mer »

Jeg ser ut til å huske min professor å glemme hvordan man skal utlede dette. Dette er hva jeg viste ham: y = arctanx tany = x sec ^ 2y (dy) / (dx) = 1 (dy) / (dx) = 1 / (sec ^ 2y) Siden tany = x / 1 og sqrt ^ 2 + x ^ 2) = sqrt (1 + x ^ 2), sec ^ 2y = (sqrt (1 + x ^ 2) / 1) ^ 2 = 1 + x ^ 2 => farge (blå) ) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2)) Jeg tror han opprinnelig hadde tenkt å gjøre dette: (dy) / (dx) = 1 / (sec ^ 2y) sec ^ 2y = 1 + tan ^ 2y tan ^ 2y = x -> sec ^ 2y = 1 + x ^ 2 => (dy) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) Les mer »

F '(x) = 3x ^ 2-6x Vi trenger sumregelen (u + v + w)' = u '+ v' + w 'og at (x ^ n)' = nx ^ (n-1) så vi får f '(x) = 3x ^ 2-6x Les mer »

Når du skiller en eksponentiell med en base bortsett fra e, bruk regelen for endring av basis for å konvertere den til naturlige logaritmer: f (x) = x * lnx / ln5 Differensier nå og bruk produktregelen: d / dxf (x) = d / dx [x] * lnx / ln5 + x * d / dx [lnx / ln5] Vi vet at derivatet av ln x er 1 / x. Hvis vi behandler 1 / ln5 som en konstant, kan vi redusere ovennevnte ligning til: d / dxf (x) = lnx / ln5 + x / (xln5) Forenkling av utbytter: d / dxf (x) = (lnx + 1) / LN5 Les mer »

Funksjonen f (x) = x * ln (x) er av formen f (x) = g (x) * h (x) som gjør den egnet til bruk av produktregelen. Produktregel sier at for å finne avledet av en funksjon som er et produkt av to eller flere funksjoner, bruk følgende formel: f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h ' vårt tilfelle kan vi bruke følgende verdier for hver funksjon: g (x) = xh (x) = ln (x) g '(x) = 1 h' (x) = 1 / x Når vi erstatter hver av disse til Produktregelen får vi det endelige svaret: f '(x) = 1 * ln (x) + x * 1 / x = ln (x) + 1 Lær mer om produktregelen her. Les mer »

(df) / dx = sqrt (1-x ^ 2) - x ^ 2 / (sqrt (1-x ^ 2)). Vi vil kreve bruken av to regler: produktregelen og kjederegelen. Produktregelen sier at: (d (fg)) / dx = (df) / dx * g (x) + f (x) * (dg) / dx. Kjederegelen sier at: (dy) / dx = (dy) / (du) (du) / dx, hvor du er en funksjon av x og y er en funksjon av deg. Derfor, (df) / dx = (x) '* (sqrt (1-x ^ 2)) + x * (sqrt (1-x ^ 2)) For å finne derivatet av sqrt (1-x ^ 2) , bruk kjedestyren med u = 1-x ^ 2: (sqrtu) '= 1 / (2sqrtu) * u' = - (2x) / (2 (sqrt (1-x ^ 2)) = -x / (sqrt (1-x ^ 2)). Dette erstatter dette resultatet til den opprinnelige ligningen: (df) / Les mer »

G '(x) = 1-4 / (x ^ 2) For å finne derivatet av g (x), må du skille hvert term i summen g' (x) = d / dx (x) + d / dx 4 / x) Det er lettere å se Power Rule på andre sikt ved å skrive det som g '(x) = d / dx (x) + d / dx (4x ^ -1) g' (x) = 1 + 4d / dx (x ^ -1) g '(x) = 1 + 4 (-1x ^ (-1-1)) g' (x) = 1 +4 (-x ^ (-2)) g ' x) = 1 - 4x ^ -2 Endelig kan du omskrive denne nye andre termen som en brøkdel: g '(x) = 1-4 / (x ^ 2) Les mer »

Du kan behandle jeg som enhver konstant som C. Så avledet av jeg ville være 0. Men når det gjelder komplekse tall, må vi være forsiktige med hva vi kan si om funksjoner, derivater og integraler. Ta en funksjon f (z), hvor z er et komplekst tall (det vil si f har et komplekst domene). Deretter defineres derivatet av f på samme måte som det virkelige tilfellet: f ^ prime (z) = lim_ (h til 0) (f (z + h) -f (z)) / (h) hvor h er nå et komplekst tall. Å se som komplekse tall kan tenkes om å ligge i et fly, kalt kompleksplanet, har vi at resultatet av denne grensen avhenger av hvo Les mer »

(ln (2x)) '= 1 / (2x) * 2 = 1 / x. Du bruker kjedelinjen: (f @ g) '(x) = (f (g (x)))' = f '(g (x)) * g' (x). I ditt tilfelle: (f @ g) (x) = ln (2x), f (x) = ln (x) og g (x) = 2x. Siden f '(x) = 1 / x og g' (x) = 2 har vi: (f @ g) '(x) = (ln (2x))' = 1 / (2x) * 2 = 1 / x. Les mer »

Med hensyn til funksjonen (lineær): y = mx + b hvor m og b er reelle tall, er derivatet, y 'av denne funksjonen (med hensyn til x): y' = m Denne funksjonen, y = mx + b, representerer, grafisk, en rett linje og tallet m representerer SLOPE av linjen (eller hvis du vil ha tilbøyelighet til linjen). Som du kan se å avlede den lineære funksjonen y = mx + b gir deg m, lutningen på linjen som er et ganske bakoverførbart resultat, mye brukt i Calculus! Som et eksempel kan du vurdere funksjonen: y = 4x + 5 du kan utlede hver faktor: Derivat av 4x er 4 derivat av 5 er 0 og deretter legger du sa Les mer »

Derivat av pi * r ^ 2 (antar at dette er med hensyn til r) er farge (hvit) ("XXX") (d pir ^ 2) / (dr) = farge (rød) (2pir) Generelt er strømmen regelen for å differensiere en funksjon av den generelle formen f (x) = c * x ^ a hvor c er en konstant er (df (x)) / (dx) = a * c * x ^ (a-1) I dette tilfellet farge (hvit) ("XXX") konstanten (c) er pi farge (hvit) ("XXX") eksponenten (a) er 2 farge (hvit) ("XXX") og vi bruker r som vår variabel, i stedet for x Så fargen (hvit) ("XXX") (d (pir ^ 2)) / (dr) = 2 * pi * r ^ (2-1) farge (hvit) ("XXXXXXX&qu Les mer »

Pi / 3 Vi vil bruke regelen: d / dx (cx) = cd / dx (x) = c Med andre ord er derivatet av 5x 5, derivatet av -99x er -99, og derivatet av 5 / 7x er 5/7. Den gitte funksjonen (pix) / 3 er den samme: det er den konstante pi / 3 multiplisert med variabelen x. Dermed d / dx ((pix) / 3) = pi / 3d / dx (x) = pi / 3. Les mer »

2 * cos (2x) Jeg vil bruke kjederegelen: Først avled synd og deretter argumentet 2x for å få: cos (2x) * 2 Les mer »

Det forrige svaret inneholder feil. Her er riktig avledning. Først og fremst vil minustegnet foran en funksjon f (x) = - sin (x), ved å ta et derivat, endre tegn på et derivat av en funksjon f (x) = sin (x) til et motsatt . Dette er en enkel teorem i teorien om grenser: grense for en konstant multiplisert med en variabel er lik denne konstanten multiplisert med en grense for en variabel. Så, la oss finne avledet av f (x) = sin (x) og deretter multiplisere det med -1. Vi må starte fra følgende setning om grensen for trigonometrisk funksjon f (x) = sin (x) som argumentet har en tendens til null: Les mer »