Kalkulus

Svar 1 Hvis du vil ha partielle derivater av f (x, y) = sin (x ^ 2y ^ 2), er de: f_x (x, y) = 2xy ^ 2cos (x ^ 2y ^ 2) og f_y (x, y) = 2x ^ 2ycos (x ^ 2y ^ 2). Svar 2 Hvis vi vurderer y å være en funksjon av x og ser etter d / (dx) (sin (x ^ 2y ^ 2)), er svaret: d / (dx) (sin (x ^ 2y ^ 2 )) = [2xy ^ 2 + 2x ^ 2y (dy) / (dx)] cos (x ^ 2y ^ 2) Finn dette ved hjelp av implisitt differensiering (kjederegelen) og produktregelen. d / (dx) (x ^ 2y ^ 2)) = [cos (x ^ 2y ^ 2)] * d / (dx) (x ^ 2y ^ 2) == [cos (x ^ 2y ^ 2) ] * [2xy ^ 2 + x ^ 2 2y (dy) / (dx)] = [2xy ^ 2 + 2x ^ 2y (dy) / (dx)] cos (x ^ 2y ^ 2) Les mer »

Strømregel: (dy) / (dx) [x ^ n] = n * x ^ (n-1) Kraftregel + kjederegel: (dy) / (dx) [u ^ n] = n * u ^ -1) * (du) / (dx) La u = 2x så (du) / (dx) = 2 Vi er igjen med y = sqrt (u) som kan omskrives som y = u ^ Nå kan (dy) / (dx) bli funnet ved hjelp av kraftregelen og kjedestyren. Tilbake til vårt problem: (dy) / (dx) = 1/2 * u ^ (- 1/2) * (du) / (dx) plugger inn (du) / (dx) vi får: dx) = 1/2 * u ^ (- 1/2) * (2) vi vet at: 2/2 = 1 derfor, (dy) / (dx) = u ^ (- 1/2) Plugging i verdien for deg finner vi at: (dy) / (dx) = 2x ^ (- 1/2) Les mer »

Dy / dx = (ycos (xy)) / (1-xcos (xy)) Ved hjelp av implisitt differensiering, produktregelen og kjederegelen får vi d / dxy = d / dxsin (xy) => dy / dx = cos (xy) (d / dx (xy)) = cos (xy) [x (d / dxy) + y (d / dxx)] = cos (xy) (xdy / dx + y) = xcos / dx + ycos (xy) => dy / dx - xcos (xy) dy / dx = ycos (xy) => dy / dx (1-xcos (xy)) = ycos (xy):. dy / dx = (ycos (xy)) / (1-xcos (xy)) Les mer »

Det gir oss momentumligningen med hensyn til hastighet ... Funksjonen eller ligningen for kinetisk energi er: bb (KE) = 1 / 2mv ^ 2 Ved å ta derivatet i forhold til hastighet (v) får vi: d / (dv) (1 / 2mv ^ 2) Ta konstantene ut for å få: = 1 / 2m * d / (dv) (v ^ 2) Bruk nå kraftregelen, som sier at d / dx (x ^ n) = nx ^ 1) for å få: = 1 / 2m * 2v Forenkle for å få: = mv Hvis du lærer fysikk, bør du tydelig se at dette er likningen for momentum, og sier at: p = mv Les mer »

(dv) / dt = (2pirh) / 3 ((dr) / dt) + (pir ^ 2) / 3 ((dh) / dt) hvis du har relaterte priser, sannsynligvis differensierer du med hensyn til t eller tid: d / dt (v) = d / dt (pi / 3r ^ 2h) (dv) / dt = pi / 3d / dt (r2h) (dv) / dt = pi / 3 (d / dt r ^ 2) h + d / dt (h) r ^ 2) (dv) / dt = pi / 3 (2rd / dt (r) h + (dh) / dtr ^ 2 (dv) / dt = pi / 3 (Dr) / dt) h + ((dh) / dt) r2 2) (dv) / dt = (2pirh) / 3 ((dr) / dt) + (pir ^ 2/3 ((dh ) / dt) Les mer »

Vel, når jeg tenker på derivat med tanke på tiden, tenker jeg på noe som endrer seg og når spenningen er involvert, tenker jeg på kondensatorer. En kondensator er en enhet som kan lagre ladning Q når en spenning V påføres. Denne enheten har karakteristikker (fysisk, geometrisk) beskrevet av en konstant kalt kapasitans C. Forholdet mellom disse mengdene er: Q (t) = C * V (t) Hvis du utlede med hensyn til tid, får du strømmen gjennom kondensatoren for en varierende spenning: d / dtQ (t) = Cd / dtV (t) Hvor derivatet av Q (t) er strømmen, dvs.: i (t) = Cd / dtV (t) D Les mer »

Dy / dx = x ^ (1 / x) (1-lnx) / x ^ 2) I disse situasjonene hvor en funksjon heves til kraften til en funksjon, bruker vi logaritmisk differensiering og implisitt differensiering som følger: y = x ^ (1 / x) lny = ln (x ^ (1 / x)) Fra det faktum at ln (a ^ b) = blna: lny = lnx / x Differensiere (venstre side blir implisitt differensiert): 1 / y * dy / dx = (1-lnx) / x ^ 2 Løs for dy / dx: dy / dx = y ((l-lnx) / x ^ 2) Minner om at y = x ^ (1 / x): dy / dx = x ^ (1 / x) ((1-lnx) / x ^ 2) Les mer »

Bilde referanse ... Håpe det hjelper .... Les mer »

Dy / dx = -1/2 ved (x, y) = (8, 1) Først, la oss finne dy / dx ved hjelp av implisitt differensiering: d / dx (x ^ (2/3) + y ^ ) = d / dx5 => 2 / 3x ^ (- 1/3) + 2 / 3y ^ (- 1/3) dy / dx = 0 => 2 / 3y ^ (- 1/3) dy / dx = - 2 / 3x ^ (- 1/3) => dy / dx = - (x / y) ^ (- 1/3) Nå vurderer vi dy / dx på vårt gitt punkt på (x, y) = 1) dy / dx | _ ((x, y) = (8,1)) = - (8/1) ^ (-1/3) = -8 ^ (-1/3) = -1/2 Les mer »

1/2 (x / 2) '= 1/2 (x)' = 1/2 * 1 = 1/2 Les mer »

Y ^ '= 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x Du kan skille denne funksjonen ved hjelp av sum- og kraftreglene. Legg merke til at du kan omskrive denne funksjonen som y = (x ^ 2 + x) ^ 2 = [x (x + 1)] ^ 2 = x ^ 2 * (x + 1) ^ 2 y = x ^ 2 * ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2 Nå forteller summanjenesten at for funksjoner som tar formen y = sum_ (i = 1) ^ (oo) f_i (x) kan finne derivatet av y ved å legge til derivatene av de enkelte funksjonene. farge (blå) (d / dx (y) = f_1 ^ '(x) + f_2 ^' (x) + ... I ditt tilfelle har du y ^ '= d / dx (x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2) y ^ '= d / dx (x ^ 4) + d / dx (2x ^ 2) + d / Les mer »

Y = x ^ (e), så y '= e * x ^ (e-1) Siden e er bare en konstant, kan vi bruke kraftregelen for derivater, som forteller oss at d / dx [x ^ n] = n * x ^ (n-1), hvor n er en konstant. I dette tilfellet har vi y = x ^ (e), så y '= e * x ^ (e-1) Les mer »

Dy / dx = x ^ x (ln (x) +1) Vi har: y = x ^ x La oss ta den naturlige loggen på begge sider. ln (y) = ln (x ^ x) Bruk det faktum at log_a (b ^ c) = clog_a (b), => ln (y) = xln (x) Bruk d / dx på begge sider. = d / dx (ln (y)) = d / dx (xln (x)) Kjedestyren: Hvis f (x) = g (h (x)), så f '(x) = g' (x)) * h '(x) Strømregel: d / dx (x ^ n) = nx ^ (n-1) hvis n er en konstant. Også d / dx (lnx) = 1 / x Til slutt, produktregelen: Hvis f (x) = g (x) * h (x), så f '(x) = g' (x) * h ) + g (x) * h '(x) Vi har: => dy / dx * 1 / y = d / dx (x) * ln (x) + x * d / dx (ln (x)) =& Les mer »

For funksjonen f (x) = x ^ n, bør n ikke være 0, av grunner som vil bli tydelige. n bør også være et heltall eller et rasjonelt tall (dvs. en brøkdel). Regelen er: F (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) Med andre ord "låner vi" kraften til x og gjør den til derivatets koeffisient, og deretter trekke 1 fra strømmen. F (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1f (x) = x ^ 7 => f' (x) = 7x ^ 6f (x) = x ^ => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) Som nevnt er det spesielle tilfellet hvor n = 0. Dette betyr at f (x) = x ^ 0 = 1 Vi kan bruke vår regel og teknisk sett Les mer »

F '(x) = 2x / x ^ (1/2) X ^ (1/2) 1 + x ^ (- 1/2) x X / x ^ (1/2) + x / x ^ 2) 2x / x ^ (1/2) Les mer »

Vi kan løse dette problemet i noen få trinn ved hjelp av implisitt differensiering. Trinn 1) Ta derivatet fra begge sider med hensyn til x. (Delta) / (Deltax) (y ^ 2) = (Delta) / (Deltax) (x) Trinn 2) For å finne (Delta) / (Deltax) (y ^ 2) må vi bruke kjederegelen fordi variablene er forskjellig. Kjedestyrke: (Delta) / (Deltax) (u ^ n) = (n * u ^ (n-1)) * (u ') Plugging inn vårt problem: (Delta) / (Deltax) (y ^ 2) = (Delta) / (Deltax) (x) med den enkle kraftregelen, siden variablene er de samme. Strømregel: Delta (Delta) / (Deltax) (x ^ n) = (n * x ^ (n-1)) Plugging in vårt problem: ( Les mer »

Dy / Dx = x + x ^ -3> "Differensier med" Farge (Blå) "strømregel" • Farge (hvit) (x) d / Dx (Ax ^ N) = Nax ^ (n-1) Y = 1 / 2x ^ 2-1 / 2x ^ -2 rArrdy / dx = (2xx1 / 2) x ^ (2-1) - (- 2xx1 / 2) x ^ (- 2-1) farge (hvit) (rArrdy / dx) = x + x ^ -3 Les mer »

Y = 3sin (x) -in (3x) y '= 3cosx- [cos (3x) * 3] farge (hvit) (ttttt ["bruk kjederegel til" synd (3x)] y' = 3 (cosx-cos3x ) Les mer »

Derivatet er 4x. For dette kan vi bruke kraftregelen: frac d dx ax ^ n = nax ^ (n-1). Så, hvis vi har y = 2x ^ 2 -5, er det eneste uttrykket som innebærer en x, 2x ^ 2, så det er det eneste begrepet vi må finne avledet av. (Derivatet av en konstant som -5 vil alltid være 0, så vi trenger ikke å bekymre oss om det siden å legge til eller subtrahere 0, vil ikke endre vårt generelle derivat.) Etter kraftregelen, er frac d dx 2x ^ 2 = 2 (2) x ^ (2-1) = 4x. Les mer »

Y '= 8sec ^ 2 (x) tan (x) Forklaring: la oss starte med generell funksjon, y = (f (x)) ^ 2 differensiere med hensyn til x Bruke kjederegel, y' = 2 * f (x) * f '(x) På samme måte som følger for gitt problem, gir y = 4 * sek ^ 2 (x) y' = 4 * 2 * sek (x) * sek (x) tan (x) y '= 8sec ^ 2 ) tan (x) Les mer »

Svar: y '= sec (x) Fullstendig forklaring: Anta, y = ln (f (x)) Ved hjelp av kjederegel, y' = 1 / f (x) * f '(x) Tilsvarende, hvis vi følger for problemet , så er y '= 1 / (sek (x) + tan (x)) * (sek (x) + tan (x))' y '= 1 / (x) tan (x) + sec ^ 2 (x)) y '= 1 / (sek (x) + tan (x)) * sek (x) sek (x) Les mer »

Derivatet av y = sec ^ 2x + tan ^ 2x er: 4sec ^ 2xtanx Prosess: Siden derivatet av en sum er lik summen av derivatene, kan vi bare få sek ^ 2x og tan ^ 2x separat og legge dem sammen . For derivatet av sek ^ 2x må vi søke Kjettelegemet: F (x) = f (g (x)) F '(x) = f' (g (x)) g '(x) funksjon er x ^ 2, og den indre funksjonen er sekx. Nå finner vi derivatet av ytre funksjonen samtidig som den indre funksjonen blir den samme, og multipliserer den med derivatet av den indre funksjonen. Dette gir oss: f (x) = x ^ 2 f '(x) = 2x g (x) = secx g' (x) = secxtanx Plugging disse inn i vår Ch Les mer »

Etter produktregel kan vi finne y '= secx (1 + 2tan ^ 2x). La oss se på noen detaljer. y = secxtanx Etter produktregel, y '= secxtanx cdot tanx + secx cdot sek ^ 2x ved factoring ut sek x, = secx (tan ^ 2x + sec ^ 2x) med sek ^ 2x = 1 + tan ^ 2x, = secx 1 + 2tan ^ 2x) Les mer »

Derivatet av tanx er sec ^ 2x. For å se hvorfor, må du vite noen få resultater. Først må du vite at derivatet av sinx er cosx. Her er et bevis på det resultatet av første prinsipper: Når du vet dette, betyr det også at derivatet av cosx er -xin (som du også trenger senere). Du må vite enda en ting, som er Quotient Rule for differensiering: Når alle disse bitene er på plass, går differensieringen som følger: d / dx tanx = d / dx sinx / cosx = (cosx. Cosx-sinx. -sinx)) / (cos ^ 2x) (ved bruk av kvotientregel) = (cos ^ 2x + sin ^ 2x) / (cos ^ 2x) = 1 / Les mer »

D / dx (x ^ 2-5x + 10) = 2x-5 Strømregelen gir derivatet av et uttrykk for formen x ^ n. d / dx x ^ n = n * x ^ {n-1} Vi trenger også lineariteten av derivatet d / dx (a * f (x) + b * g (x)) = a * d / dx f (x)) + b * d / dx (g (x)) og at derivatet av en konstant er null. Vi har f (x) = x ^ 2-5x + 10 d / dxf (x) = d / dx (x ^ 2-5x + 10) = d / dx (x ^ 2) -5d / dx (x) + d / dx (10) = 2 * x ^ 1-5 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x-5 Les mer »

Det er ingen forskjeller, de to ordene er synonymt. Les mer »

Ubestemte integraler har ingen lavere / øvre grenser for integrasjon. De er generelle antiderivativer, slik at de gir funksjoner. int f (x) dx = F (x) + C, hvor F '(x) = f (x) og C er en hvilken som helst konstant. Definitive integraler har lavere og øvre grenser for integrasjon (a og b). De gir verdier. (x) = f (x). Jeg håper at dette var nyttig. Les mer »

Hastighet er en vektor og hastigheten er en størrelsesorden. Husk at en vektor har retning og størrelse. Hastighet er bare størrelsen. Retning kan være så enkelt som positivt og negativt. Magnitude er alltid positiv. I tilfelle av positiv / negativ retning (1D) kan vi bruke absoluttverdien, | v |. Men hvis vektoren er 2D, 3D eller høyere, må du bruke euklidiske normen: || v ||. For 2D er dette || v || = sqrt (v_x ^ 2 + v_y ^ 2) Og som du kan gjette, er 3D: || v || = sqrt (v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2) Les mer »

Intermediate Value Theorem (IVT) sier funksjoner som er kontinuerlige på et intervall [a, b] tar på alle (mellomliggende) verdier mellom deres ekstremer. Extreme Value Theorem (EVT) sier funksjoner som er kontinuerlige på [a, b] oppnår deres ekstreme verdier (høy og lav). Her er en uttalelse av EVT: La f være kontinuerlig på [a, b]. Deretter eksisterer tallene c, d i [a, b] slik at f (c) leq f (x) leq f (d) for alle x i [a, b]. Angitt på annen måte, er "supremum" M og "infimum" m av området {f (x): x i [a, b] } til stede (de er endelige) og det finnes ta Les mer »

Hvis du prøver å bestemme konvergensen av summen {a_n}, kan du sammenligne med summen b_n hvis konvergens er kjent. Hvis 0 leq a_n leq b_n og sum b_n konvergerer, summen a_n også konvergerer. Hvis a_n geq b_n geq 0 og sum b_n avviker, diverker summen a_ også. Denne testen er veldig intuitiv, ettersom alt det er sagt er at hvis de større seriene kommer sammen, så konvergerer også de mindre seriene, og dersom de mindre serier avviker, divergerer de større seriene. Les mer »

Int ("d" x) / (x ^ 2-1) ^ 2 = 1/4 (ln (x + 1) -ln (x-1) - (2x) / (x ^ 2-1)) + C int ("d" x) / (x ^ 2-1) ^ 2 = int ("d" x) / ((x + 1) ^ 2 (x-1) ^ 2) La oss nå partielle fraksjoner. Anta at 1 / (x + 1) ^ 2 (x-1) ^ 2) = A / (x + 1) + B / (x + 1) ^ 2 + C / (x-1) + D / x-1) ^ 2 for noen konstanter A, B, C, D. Deretter 1 = A (x + 1) (x-1) ^ 2 + B (x-1) ^ 2 + C (x + 1) ^ 2 (x-1) + D (x + 1) ^ 2 Utvid for å få 1 = (A + C) x ^ 3 + (B + C + DA) x ^ 2 + (2D-2B-AC) x + A + B-C + D. Ekvivalente koeffisienter: {A + C = 0), (B + C + DA = 0), (2D-2B-AC = 0), (A + B-C + D = 1):} Løsning gir Les mer »

3 "Øyeblikkelig endring av f (x) ved x = a" betyr "derivat av f (x) ved x = a. Derivatet ved et punkt representerer funksjonens endringshastighet på det tidspunktet eller den øyeblikkelige forandringshastigheten , ofte representert av en tangentlinje med skråningen f '(a) .f (x) = 3x + 5 f' (x) = 3, er derivatet av en konstant null, noe som betyr at de fem spiller ingen rolle her. ved x = 1, eller ved en hvilken som helst x faktisk, er endringshastigheten 3. Les mer »

F '(x) = 2xe ^ (x ^ 2) Vi har en kjederegel vi har ytrefunksjonen f (u) = e ^ u og den innvendige funksjonen u = x ^ 2 Kjedestyring er avledet av begge funksjonene og multiplikerer deretter derivater så f '(u) * u' f '(u) = e ^ u u' = 2x Mutply-derivater 2xe ^ u = 2xe ^ (x ^ 2) = f '(x) Les mer »

Ingen endring f '' '' (x) = - 5e ^ x Bare hent det 4 ganger Regelen for å avlede e ^ xf (x) = e ^ x rArre ^ xf (x) = - 5e ^ x f '(x) = (X) = - 5e ^ x f '' '' (x) = - 5e ^ x Les mer »

Ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 1/24 (X-2) ^ 3. Den generelle form for en Taylor-ekspansjon sentrert ved en av en analytisk funksjon f er f (x) = sum_ {n = 0} ^ o ^ ^ (n)) (a) / (n!) (X-a) ^ n. Her er f ^ ((n)) nth derivatet av f. Den tredje graden av Taylor-polynomet er et polynom som består av de første fire (n som strekker seg fra 0 til 3) for hele Taylor-ekspansjonen. Derfor er dette polynomet f (a) + f '(a) (xa) + (f' '(a)) / 2 (xa) ^ 2 + (f' '' a)) / 6 (xa) ^ 3 . f (x) = ln (x), derfor f '(x) = 1 / x, f' '(x) = - 1 / x ^ 2, f' '' (x) = 2 / x ^ 3. Så den Les mer »

Svar: Domene x i [-6 / 5, oo) Område [0, oo) Du må huske på at for domenet: sqrt (y) -> y> = 0 ln (y) -> y> 0 1 / y-> y! = 0 Etter det vil du føre til en ulikhet som gir deg domenet. Denne funksjonen er en kombinasjon av lineære og firkantede funksjoner. Lineært har domenet RR. Firkantfunksjonen skjønt må ha et positivt tall inne i torget. Derfor: (5x + 6) / 2> = 0 Siden 2 er positiv: 5x + 6> = 0 5x> = -6 Siden 5 er positiv: x> = -6/5 Domenet til funksjonene er: x i [ -6 / 5, oo) Rutenes funksjon (ytre funksjon) er [0, oo) (uendelig del kan bevises gjennom Les mer »

F '(x) = (ye ^ y) / ((yx) ^ 2 + ye ^ y-xe ^ y + xe ^ y) Først må vi familier oss med noen kalkuleringsregler f (x) = 2x + 4 vi kan differensiere 2x og 4 separat f '(x) = dy / dx2x + dy / dx4 = 2 + 0 = 2 På samme måte kan vi differensiere 4, y og - (xe ^ y) / (yx) separat dy / dx4 = dy / dxy-dy / dx (xe ^ y) / (yx) Vi vet at differensieringskonstanter dy / dx4 = 0 0 = dy / dxy-dy / dx (xe ^ y) / (yx) På samme måte er regelen for differensiering y dy / dxy = dy / dx 0 = dy / dx-dy / dx (xe ^ y) / (yx) Til slutt å differensiere (xe ^ y) / (yx) må vi bruke kvotientregelen La xe ^ Les mer »

Dy / dx = (ye ^ (xy) y ^ 3) / (x-xe ^ (xy) y ^ 2) 1 = x / ye ^ (xy) Først må vi vite at vi kan skille hver del separat = 2x + 3 vi kan skille mellom 2x og 3 separate dy / dx = dy / dx2x + dy / dx3 rArrdy / dx = 2 + 0 På samme måte kan vi differensiere 1, x / y og e ^ (xy) separat dy / dx1 = dy / dxx / y-dy / dxe ^ (xy) Regel 1: dy / dxC rArr 0 derivat av en konstant er 0 0 = dy / dxx / y-dy / dxe ^ (xy) dy / dxx / y vi må differensier dette ved hjelp av kvotientregelen Regel 2: dy / dxu / v rArr ((du) / dxv- (dv) / dxu) / v ^ 2 eller (vu'-uv ') / v ^ 2 u = x rArr u' = 1 Regel 2: y ^ n r Les mer »

F (x) = (4e ^ (2x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2sin ((1-e ^ (2x)) / (1 + e ^ (2x))) Vi har å gjøre med kvotientregelen i kjedelinjen Kjederegel for cosinus cos (r) rArr s '* - synd (er) Nå må vi gjøre kvotientregelen s = (1-e ^ (2x)) / (1 + e ^ 2x)) dy / dxu / v = (u'v-v'u) / v ^ 2 Regel for å avlede e Regel: e ^ u rArr u'e ^ u Avled både topp- og bunnfunksjonene 1-e ^ (2x ) rArr 0-2e ^ (2x) 1 + e ^ (2x) rArr 0 + 2e ^ (2x) Sett den inn i kvotientregelen s '= (u'v-v'u) / v ^ 2 = (- 2e ^ (2x) (1 + e ^ (2x)) - 2e ^ (2x) (1-e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) 2 Bare s '= (- 2e Les mer »

A = 2sqrt2 Formelen for parametrisk lysbue er: A = int_a ^ b sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) dt Vi begynner med å finne de to derivatene: dx / dt = 1 og dy / dt = 1 Dette gir at lysbuen er: A = int_2 ^ 4sqrt (1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_2 ^ 4sqrt2 dt = [sqrt2t] _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2 Faktisk , siden parametrisk funksjon er så enkel (det er en rett linje), trenger vi ikke engang den integrerte formelen. Hvis vi plotter funksjonen i en graf, kan vi bare bruke vanlig avstandsformel: A = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) = sqrt (4 + 4) = sqrt8 = sqrt 4 * 2) = 2sqrt2 Dette gir oss det samme resultatet som Les mer »

=> (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) (2x-1) / sqrt3) + c Fortsetter ... La 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 => sqrt 3) / 2 u = x-1/2 => sqrt (3) / 2 du = dx => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du Ved hjelp av en antivirivativ hva skal forpliktes til minne ... => 2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c => u = (2x-1) / sqrt3 => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) (2x-1) / sqrt3) + c Les mer »

F (x) er konkav på x = -3 notat: konkav opp = konveks, konkav ned = konkav Først må vi finne de intervaller som funksjonen er konkav og konkav ned. Vi gjør dette ved å finne det andre derivatet og sette det lik null for å finne x-verdiene f (x) = (x-9) ^ 3 - x + 15 d / dx = 3 (x-9) ^ 2 - 1 d ^ 2 / dx ^ 2 = 6 (x-9) 0 = 6x - 54 x = 9 Nå tester vi x-verdier i det andre derivatet på begge sider av dette tallet for positive og negative intervaller. positive intervaller korresponderer med konkave opp og negative intervaller samsvarer med konkav ned når x <9: negativ (konkav ned) n& Les mer »

(2x) + C Først kan vi bruke identiteten: 2sinthetacostheta = sin2x som gir: int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx Nå kan vi bruke integrasjon av deler. Formelen er: int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx Jeg vil la f (x) = synd 2x) og g '(x) = e ^ x / 2. Ved å bruke formelen får vi: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx Nå kan vi søke integrering av deler igjen Denne gangen med f (x) = cos (2x) og g '(x) = e ^ x: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- 2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x dx) 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = Les mer »

Den generelle løsningen er: y = 1-1 / (e ^ t + C) Vi har: dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 Vi kan samle vilkår for lignende variabler: 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t Hvilket er en separerbar første ordens ordinære ikke-lineære differensiell likning, så vi kan "skille variablene" for å få: int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt Begge integralene er de med standardfunksjoner, slik at vi kan bruke den kunnskapen til å integrere direkte: -1 / (y-1) = e ^ t + C Og vi kan enkelt omorganisere for y: - (y-1) = 1 / (e ^ t + C):. 1-y = 1 / (e ^ t + C) Ledende til den generelle løsning Les mer »

-2sin (2t) / (cos (2t) ^ 2 + 1) Derivatet av tan ^ -1 (x) er 1 / (x ^ 2 + 1) når vi erstatter cos (2t) for x får vi 1 / cos (2t) ^ 2 + 1) Deretter bruker vi kjedestykket for cos (2t) 1 / (cos (2t) ^ 2 + 1) * -2sin (2t) Vårt siste svar er -2sin (2t) / (2t) ^ 2 + 1) Les mer »

Konvergerer ved direkte sammenligningstest. Vi kan bruke Direct Comparison Test, så langt som vi har sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2), IE, starter serien ved en. For å bruke Direct Comparison Test må vi bevise at a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) er positiv på [1, oo). Merk først at i intervallet [1, oo), cos (1 / k) er positivt. For verdier av x = 1, 1 / k oo) c Les mer »

D / (dx) ln (e ^ (4x) + 3x) = (4e ^ (4x) +3) / (e ^ (4x) + 3x) Derivat av lnx er 1 / x Så derivat av ln 4x) + 3x) er 1 / (e ^ (4x) + 3x) d / dx (e ^ (4x) + 3x) (Kjederegel) Derivat av e ^ (4x) + 3x er 4e ^ (4x) +3 Således er derivatet av ln (e ^ (4x) + 3x) 1 / (e ^ (4x) + 3x) * (4e ^ (4x) +3) = (4e ^ (4x) +3) / 4x) + 3x) Les mer »

Som dette: Den anti-derivative eller primitive funksjonen oppnås ved å integrere funksjonen. En tommelfingerregel her er hvis du blir bedt om å finne den antiderivative / integrale av en funksjon som er polynom: Ta funksjonen og øk alle indeksene x med 1, og del deretter hvert term med deres nye indeks på x. Eller matematisk: int x ^ n = x ^ (n + 1) / (n + 1) (+ C) Du legger også til en konstant for funksjonen, selv om konstanten vil være vilkårlig i dette problemet. Nå, ved hjelp av vår regel kan vi finne den primitive funksjonen, F (x). F (x) = ((8x ^ (3 + 1)) / (3 + 1)) Les mer »

Nei. Se først funksjonen f (x) = -2 ^ x Denne funksjonen er tydeligvis redusert og negativ (dvs. under x-aksen) over dens domene. Tenk samtidig funksjonen h (x) = 1-x ^ 2 over intervallet 0 <= x <= 1. Denne funksjonen minker over nevnte intervall. Det er imidlertid ikke negativt. Derfor trenger en funksjon ikke å være negativ over intervallet det faller på. Les mer »

Y = 1 / 108x-3135/56 Den normale linjen til en tangent er vinkelrett på tangenten. Vi kan finne skråningen av tangentlinjen ved hjelp av derivatet av den opprinnelige funksjonen, så ta den motsatte gjensidig for å finne skråningen av den normale linjen på samme punkt. f (x) = 3x ^ 4-x ^ 3f '(x) = 12x ^ 3-3x ^ 2 f' (- 2) = 12 (-2) ^ 3-3 (-2) ^ 2 = 12 -8) -3 (4) = - 108 Hvis -108 er skråningen av tangentlinjen, er helling av den normale linjen 1/108. Poenget på f (x) som den normale linjen vil krysse er (-2, -56). Vi kan skrive ligningen for den normale linjen i punkt-skrå Les mer »

Y = x / 4 + 23 / 4f (x) = x ^ 3 + 3x ^ 2 + 7x-1 Gradientfunksjonen er det første derivatet f '(x) = 3x ^ 2 + 6x + 7 Så gradienten når X = -1 er 3-6 + 7 = 4 Graden av normal, vinkelrett, til tangenten er -1/4 Hvis du ikke er sikker på dette, tegne en linje med gradient 4 på kvadrert papir og tegne det vinkelrette. Så normal er y = -1 / 4x + c Men denne linjen går gjennom punktet (-1, y) Fra originalligningen når X = -1 y = -1 + 3-7-1 = 6 Så 6 = -1 / 4 * -1 + c C = 23/4 Les mer »

12x ^ 3-8x "og" 36x ^ 2-8> "differensiere ved hjelp av" color (blue) "power rule" • farge (hvit) (x) d / dx (ax ^ n) = nax ^ (n-1 ) dy / dx = (4xx3) x ^ 3- (2xx4) x + 0 farge (hvit) (dy / dx) = 12x ^ 3-8x (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 36x ^ 2-8 Les mer »

Y'' = 12x ^ 2-12 I den oppgitte øvelsen er derivatet av dette uttrykket basert på differensieringen av kraftregelen som sier: farge (blå) (dx ^ n / dx = nx ^ (n-1)) Først derivat: y = x ^ 4-6x ^ 2 + 8x + 8 y '= 4x ^ 3-12x + 8 Andre derivater: y' = 12x ^ 2-12 Les mer »

(dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(det første derivatet)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2 ) = 8/9 * x ^ (-2/3) (- x ^ -1 + 1) "(det andre derivatet)" y = 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3) / (dx) = 1/3 * 4 * x ^ ((1/3-1)) + 4/3 * 2x ^ ((4/3-1)) (dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(det første derivatet)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 2/3 * 4/3 * x ^ ((2 / 3-1)) + 8/3 * 1/3 * x ^ ((1/3-1)) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 8/9 * x ^ ((- 5/3)) + 8/9 * x ^ ((- 2/3) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = 8/9 * x ^ (- 2/3) x ^ -1 + 1) "(det andre derivatet)" Les mer »

Første Derivat Test for Local Extrema La x = c være en kritisk verdi av f (x). Hvis f '(x) endrer tegnet fra + til - rundt x = c, er f (c) et lokalt maksimum. Hvis f '(x) endrer tegnet fra - til + rundt x = c, er f (c) et lokalt minimum. Hvis f '(x) ikke endrer tegnet rundt x = c, er f (c) verken et lokalt maksimum eller et lokalt minimum. Les mer »

Hvis den første avledningen av ligningen er positiv på det tidspunktet, øker funksjonen. Hvis det er negativt, reduseres funksjonen. Hvis den første avledningen av ligningen er positiv på det tidspunktet, øker funksjonen. Hvis det er negativt, reduseres funksjonen. Se også: http://mathworld.wolfram.com/FirstDerivativeTest.html Anta at f (x) er kontinuerlig på et stasjonært punkt x_0. Hvis f ^ '(x)> 0 på et åpent intervall som strekker seg fra x_0 og f ^' (x) <0 på et åpent intervall som strekker seg rett fra x_0, har f (x) et lokalt maksimum (mu Les mer »

Første Derivat Test for Local Extrema La x = c være en kritisk verdi av f (x). Hvis f '(x) endrer tegnet fra + til - rundt x = c, er f (c) et lokalt maksimum. Hvis f '(x) endrer tegnet fra - til + rundt x = c, er f (c) et lokalt minimum. Hvis f '(x) ikke endrer tegnet rundt x = c, er f (c) verken et lokalt maksimum eller et lokalt minimum. Les mer »

= 0 lim_ (x-> 0) (sin ^ 2x) / x ---- lim_ (x-> 0) (sinx) / x = 1 multipliser med lim_ (x-> 0) (sinx.sinx) / x = xx (x-> 0) (x) / x (sinx.sinx) / x lim_ (x-> 0) (x) / x (sinx.sinx) / x = lim_ (x-> 0) x sinx / x) (xx) xx) xx) xx) = 1.1.x = x lim_ (x-> 0) (sin ^ 2x) / x = lim_ (x-> 0) x lim_ (x-> 0) x = 0 Les mer »

1 oo) | a_ (n + 1) / a_n |. Hvis L <1 er serien helt konvergent (og dermed konvergent) Hvis L> 1, avviker serien. Hvis L = 1, er forholdstesten ikke uttømmende. For Power Series er det imidlertid mulig å tre tilfeller a. Kraftserien konvergerer for alle reelle tall; dens konvergensintervall er (-oo, oo) b. Kraftserien konv Les mer »

F '(x) = (x (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (- 1/2)) / (x ^ 2 + 3) = x / ((x ^ 2 + 3) (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (1/2)) = x / (x ^ 2 + 3) sqrt (ln (x ^ 2 + 3))) Vi er gitt: y = (ln (x ^ 2 + 3) ) ^ (1/2) y '= 1/2 * (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (1 / 2-1) * d / dx [ln (x ^ 2 + 3)] y' = ln (x ^ 2 + 3)) ^ (- 1/2) / 2 * d / dx [ln (x ^ 2 + 3)] d / dx [ln (x ^ 2 + 3)] = (d / dx [x ^ 2 + 3]) / (x ^ 2 + 3) d / dx [x ^ 2 + 3] = 2x y '= (ln (x ^ 2 + 3)) * (2 x) / (x ^ 2 + 3) = (x (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (- 1/2)) / (x ^ 2 + 3) = x / ((2 + x ^ 3) (ln (x ^ 2 + 3)) ^ (1/2)) = x / ((x ^ 2 + 3) sqrt (ln (x ^ 2 + 3))) Les mer »

F (x) = -1 / (ln (10)) [x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + ... + x ^ (n + 1) / 1) ^ 2] Visual: Sjekk ut denne grafen Vi kan tydeligvis ikke evaluere dette integralet som det bruker noen av de vanlige integreringsteknikkene vi har lært. Men siden det er en klar integral, kan vi bruke en MacLaurin-serie og gjøre det som kalles term etter termintegrasjon. Vi må finne MacLaurin-serien. Siden vi ikke vil finne den nth-derivaten av den funksjonen, må vi prøve å passe den inn i en av MacLaurin-serien vi allerede kjenner. For det første liker vi ikke logg; vi vil gjøre det til en ln. For  Les mer »

Sqrt (6) a ^ x = exp (x * ln (a)) = 1 + x * ln (a) + (x * ln (a)) ^ 2/2 + (x * ln (a)) ^ 3 / 6 + ... => 3 ^ x + 2 ^ x = 2 + x * (ln (3) + ln (2)) + x ^ 2 * (ln (3) ^ 2 + ln (2) ^ 2 ) / 2 + x ^ 3 * (ln (3) ^ 3 + ln (2) ^ 3/6 + ... = 2 + x * ln (6) + x ^ 2 3 ^ x) ^ 2 + (2x) ^ 2 = 3 ^ (2x) + 2 ^ (2x) = 2 + 2 * x * ln (6) + 4 * x ^ 2 * (ln (2) ^ 2 + ln (3) ^ 2/2 + 8 * x ^ 3 * (ln (3) ^ 3 + ln (2) ^ 3) / 6 + ... => (3 ^ (2x) + 2 ^ (2x)) / (3xx2xx) = "1 + (x * ln (6) + 3 * x ^ 2 * ...) / (2 + x * ln (6) + x ^ 2 * ...) ~~ 1+ (x * ln (6)) / 2 "(for x" -> "0)" "hevet til effekten 1 / x-utbytte Les mer »

Som nevnt i kommentarene nedenfor, er dette MacLaurin-serien for f (x) = cos (x), og vi vet at dette konvergerer på (-oo, oo). Men hvis du ønsket å se prosessen: Siden vi har en faktor i nevneren, bruker vi forholdstesten, siden dette gjør forenklinger litt enklere. Denne formelen er: lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) Hvis dette er <1, konvergerer serien Hvis dette er> 1, avviker serien din Hvis dette er = 1, er testen ufullstendig , la oss gjøre dette: lim_ (k-> oo) abs ((- 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) (2k)!) / (X ^ (2k)) Merk: Vær veldig forsiktig med hvordan du kobl Les mer »

Ingen minutter eller maks. Infleksjonspunkt ved x = -2/3. graf {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 [-10, 10, -10, 20]} #Mins og Maxes For en gitt x-verdi (la oss kalle det c) å være maks eller min for en gitt funksjon, må den tilfredsstille følgende: f '(c) = 0 eller undefined. Disse verdiene av c kalles også dine kritiske punkter. Merk: Ikke alle kritiske punkter er maks / min, men alle maks / min er kritiske punkter. La oss finne disse for funksjonen din: f '(x) = 0 => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0 => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 Dette påvirker ikke, så la oss prøve kvadratis Les mer »

"Se forklaring" "Kanskje mitt svar ikke er helt til poenget, men jeg vet" "om" farge (rød) "." Hopf-Cole-transformasjonen er en transformasjon som kartlegger " "løsningen av" farge (rød) ("Burgersligning") "til" farge (blå) ("varmekvasjon"). " "Kanskje du kan finne inspirasjon der." Les mer »

Dr | _ (R = 10) = 0,45 m // min. Siden området av en sirkel er A = pi r ^ 2, kan vi ta differensialet på hver side for å oppnå: dA = 2pirdr Derfor endrer radiusen med frekvensen dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir) ) Således dr | _ (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0,45m // min. Les mer »

206,6 "km / h" Dette er et relatert satsproblem. For problemer som dette, er det nøkkelen til å tegne et bilde. Vurder diagrammet nedenfor: Deretter skriver vi en ligning. Hvis vi kaller R avstanden mellom Roses bil og krysset, og F avstanden mellom Franks bil og krysset, hvordan kan vi skrive en ligning som finner avstanden mellom de to til enhver tid? Vel, hvis vi bruker pythogorisk teorum, finner vi at avstanden mellom bilene (kall at x) er: x = sqrt (F ^ 2 + R ^ 2) Nå må vi finne den øyeblikkelige endringshastigheten x med hensyn til tid (t). Så, vi tar derivatet av begge sider a Les mer »

E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2 sek ^ 2 (x) -cos (x) '+ 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) Vi begynner med å dele integralet i tre: int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx (x) dx-cos (x) Jeg vil kalle den venstre integral Integral 1 og den rette Integral 2 Integral 1 Her trenger vi integrering av deler og et lite triks. Formelen for integrasjon av deler er: int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx I dette tilfellet er jeg ' ll la f (x) = e ^ x og g '(x) = cos (x). Vi får det f '(x) = e ^ x og g (x) = sin (x). Dette gjø Les mer »

Du kan bruke Stevins lov til å evaluere trykkendringen på forskjellige dybder: Du må også vite tettheten rho av sjøvann (fra litteraturen du bør få: 1.03xx10 ^ 3 (kg) / m ^ 3 som er mer eller mindre nøyaktig med tanke på at sannsynligvis på grunn av det kalde havet (jeg tror det var Barentshavet) og dybden trolig ville endres, men vi kan omtrentliggjøre for å kunne beregne vår beregning). Stevin Law: P_1 = P_0 + rhog | h | Som trykk er "force" / "area" kan vi skrive: "force" = "pressure" xx "area" = 1.06xx10 ^ Les mer »

Lim_ (x-> 0) x / sqrt (1-cos (x)) = sqrt (2) lim_ (x-> 0) x / sqrt (1-cos (x)) = lim_ x-> 0) x / sqrt (1-cos (x)) * sqrt (1 + cos (x)) / sqrt (1 + cos (x)) = lim_ (x-> 0) (x))) / sqrt (1-cos ^ 2 (x)) = lim_ (x-> 0) (xsqrt (1 + cos (x))) / sin (x) = lim_ / sin (x) sqrt (1 + cos (x)) = lim_ (x-> 0) x / sin (x) * lim_ (x-> 0) sqrt (1 + cos (x)) = 1 * sqrt 2) = sqrt (2) Les mer »

X ^ (tanx) (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) Express x ^ tanx som kraft av e: x ^ tanx = e ^ ln (x ^ tanx) = e ^ (lnxtanx) = d / dxe ^ (lnxtanx) kjedestyren, d / dxe ^ (lnxtanx) = (de ^ u) / (du) ((du) / dx), hvor u = lnxtanx og d / (du) (e ^ u) = e ^ u = d / dx (lnxtanx)) e ^ (lnxtanx) Express e ^ (lnxtanx) som kraft av x: e ^ (lnxtanx) = e ^ ln (x ^ tanx) = x ^ tanx = x ^ tanx. d / (dx) (lnxtanx) Bruk produktregelen, d / (dx) (uv) = v (du) / (dx) + u (dv) / (dx), hvor u = lnx og v = tanx = lnx d / (dx) (tanx) + d / (dx) (lnxtanx) x ^ tanx Derivatet av tanx er sec ^ 2x = x ^ tanx (sec ^ 2xlnx + (d / (dx) (lnx)) tanx) Derivatet av Les mer »

Serien er divergerende fordi grensen for dette forholdet er> 1 lim_ (n-> oo) a_ (n + 1) / a_n = lim_ (n-> oo) (4 (n + 1/2)) / (n + 1)) = 4/3> 1 La a_n være n-th termen i denne serien: a_n = ((2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) Så a_ (n + 1 ) = ((2 (n + 1))) / (3 ^ (n + 1) ((n + 1)!) ^ 2) = ((2n + 2)!) / (3 * 3 ^ n (n + 1)!) ^ 2) = ((2n)! (2n + 1) (2n + 2)) / (3 * 3 ^ n (n!) ^ 2 (n + 1) ^ 2) = (2n + 2)) / (3 (n + 1) ^ 2) = a_n * ((2n + 1) 2 (n + 1)) / (3 (n + 1) ^ 2) a_ (n + 1) = a_n * (2 (2n + 1)) / (3 (n + 1)) a_ (n + 1) / a_n = (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) Med grensen for dette forholdet lim_ (n-> oo) a_ (n Les mer »

Vi må finne hvor konkaviteten endres. Dette er bøyningspunktene; Vanligvis er det det andre derivatet er null. Vår funksjon er y = f (x) = x e ^ x. La oss se hvor f '' (x) = 0: y = f (x) = x * e ^ x Så bruk produktregelen: f '(x) = x * d / dx (e ^ x) + e ^ x * d / dx (x) = xe ^ x + e ^ x * 1 = e ^ x (x + 1) f '' (x) = (x + 1) * d / dx (e ^ x) + e ^ x * d / dx (x + 1) = (x + 1) e ^ x + e ^ x * 1 = e ^ x (x + 2) = 0 Sett f '' (x) = 0 og løse for å få x = -2. Den andre derivatendringen signerer ved -2, og så endrer konkaviteten ved x = -2 fra konkav ned til v Les mer »

Int (2 + x + x ^ 13) dx = 2x + x ^ 2/2 + x ^ 14/14 + c Vi bruker kraftregelen for integrasjon, det vil si: int x ^ n dx = x ^ (n + 1) / (n + 1) (+ c) for enhver konstant n! = -1 Så, ved å bruke dette har vi: int (2 + x + x ^ 13) dx = 2x + x ^ 2/2 + x ^ 14/14 + c Les mer »

Integralet er lik x ^ 4 + C Som gitt av kraftregelen, int x ^ ndx = x ^ (n + 1) / (n + 1). I = 4x ^ (3 + 1) / (3 + 1) = x ^ 4 + C Forhåpentligvis hjelper dette! Les mer »

Først sette opp problemet. int (dy) / (dx) dx Umiddelbart de to dx vilkårene kansellerer, og du er igjen med; int dy Løsningen som er; y + C hvor C er en konstant. Dette bør ikke være mye av en overraskelse med tanke på at derivater og integraler er motsetninger. Derfor bør integrasjonen av et derivat returnere den opprinnelige funksjonen + C Les mer »

2e ^ {0,5x} + C int e ^ {0,5x} dx = int e ^ {0,5x} 1 / 0,5d (0,5x) = 1 / 0,5 int e ^ {0,5 x} d 0,5x) = 2e ^ {0,5x} + C Les mer »

Integrering av deler int u dv = uv-int v du La u = ln (7x) "" "" dv = dx => du = {dx} / x "" "" => v = x Ved integrasjon av deler, int ln (7x) dx = ln (7x) cdot x-int x cdot {dx} / x = x ln (7x) -int dx + C = x ln (7x) - x + CI håper at dette var nyttig. Les mer »

Du kan ikke uttrykke dette integralet når det gjelder elementære funksjoner. Avhengig av hva du trenger integrasjonen for, kan du velge en måte å integrere eller en annen på. Integrasjon via kraftserie Husk at e ^ x er analytisk på mathbb {R}, så forall x i mathbb {R} har følgende likestilling e ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / { n!} og dette betyr at e ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!} Nå kan du integrere: int e ^ {x ^ 3} dx = int (sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n! }} dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ inf Les mer »

Hint: Bruk først trigonometrisk substitusjon. Dette spørsmålet er i formatet sqrt (a ^ 2-x ^ 2). Så du lar x = en sinx (a i dette tilfellet er 1) og deretter ta derivatet av x. Plugg den tilbake i spørsmålet int sqrt (1-x ^ 2) dx Du må bruke halvvinkelidentiteten etter. Integrere. Du vil få en ubestemt integrering. Sett opp en høyre trekant for å finne verdien for ubestemt integral. Jeg håper denne videoen vil bidra til å rydde opp ting. Les mer »

Når jeg ser denne typen funksjoner, gjenkjenner jeg (ved å praktisere mye) at du bør bruke en spesiell substitusjon her: int sqrt (9-x ^ 2) dx x = 3sin (u) Dette kan se ut som en underlig substitusjon, men Du skal se hvorfor vi gjør dette. dx = 3cos (u) du Erstatt everyhting i integralet: int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du Vi kan bringe 3 ut av integralet: 3 * int sqrt (3sin (u)) 2) * cos (u) du 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * cos (u) du Du kan faktor 9 ut: 3 * int sqrt -sin ^ 2 (u)) * cos (u) du 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du Vi kjenner identiteten: cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 Hvis vi l Les mer »

Int 1 / x dx = In abs x + C Årsaken avhenger av hvilken definisjon av ln x du har brukt. Jeg foretrekker: Definisjon: lnx = int_1 ^ x 1 / t dt for x> 0 Ved grunnleggende teorem av beregning får vi: d / (dx) (lnx) = 1 / x for x> 0 Fra det og kjedestyret , vi får også d / (dx) (ln (-x)) = 1 / x for x <0 På et intervall som utelukker 0, er antidivivative 1 / x lnx hvis intervallet består av positive tall og det er ln (-x) hvis intervallet består av negative tall. I abs x dekker begge sakene. Les mer »

1/6 ln | {sqrt (x ^ 3 + 4) -2} / {sqrt (x ^ 3 + 4) +2} | + C Erstatter x ^ 3 + 4 = u ^ 2. Deretter 3x ^ 2dx = 2udu, slik at dx / {x sqrt {x ^ 3 + 4}} = {2udu} / {3x ^ 3u} = 2/3 {du} / (u ^ 2-4) = 1 / Dermed er int dx / {x sqrt {x ^ 3 + 4}} = 1/6 int ({du} / {u- 2} - {du} / {u + 2}) = 1/6 ln | {u-2} / {u + 2} | + C = 1/6 ln | {sqrt (x ^ 3 + 4) -2 } / {sqrt (x ^ 3 + 4)} 2 | + C Les mer »

-2 / 3sqrt (1-x) (2 + x) + C La, u = sqrt (1-x) eller, u ^ 2 = 1-x eller, x = 1-u ^ 2 eller, dx = -2udu Nå, int (xdx) / (sqrt (1-x)) = int (1-u ^ 2) (- 2udu) / u = int 2u ^ 2du -int 2du Nå, int 2u ^ 2 du -int 2du = ( 2 u 3) / 3 - 2 (u) + C = 2 / 3u (u 2-3) + C = 2 / 3sqrt (1-x) {(1-x) -3} + C = 2 / 3sqrt (1-x) (- 2-x) + C = -2 / 3sqrt (1-x) (2 + x) + C Les mer »

Se nedenfor. Ved hjelp av polynomidentiteten (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) har vi for abs x <1 lim_ (n-> oo) x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) da, for x ne k pi, k i ZZ har vi sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x) Les mer »

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["er konvergensintervallet for x" "x = 3 er ikke i konvergensintervallet, så summen for x = 3 er" oo "Behandle summen som det er en geometrisk serie ved å erstatte "" z = log_2 (x + 1) / (x-2)) "Da har vi" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "for" | z | <1 "Så konvergensintervallet er" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "ELLER" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) " "Positiv sak:" => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) => Les mer »

X i (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Vi kan vri den sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n er en geometrisk serie med forholdet r = 1 / (x (1-x)). Nå vet vi at den geometriske serien konvergerer når absoluttverdien av forholdet er mindre enn 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Så vi må løse denne ulikheten: 1 / (x (1-x)) <1 og 1 / (x (1-x))> -1 La oss begynne med den første: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Vi kan lett bevise at telleren alltid er positiv og nevneren er negetiv i intervallet x i (-oo, 0) U (1, oo). S Les mer »

(-3, -8) Stasjonære punkter i en funksjon er når dy / dx = 0 y = x ^ 2 + 6x + 1 dy / dx = 2x + 6 dy / dx = 0 = 2x + 6 x = -6 / 2 = -3 (-3) ^ 2 + 6 (-3) + 1 = 9-18 + 1 = -8 Stasjonært punkt opptrer ved (-3, -8) Les mer »

Maksimum volum på sylinderen er funnet hvis vi velger r = sqrt (2/3) R og h = (2R) / sqrt (3) Dette valget fører til et maksimalt sylindervolum på: V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) `` Tenk et tverrsnitt gjennom sylinderens senter, og la sylinderen ha høyde h og volum V, da har vi; h og r kan varieres og R er en konstant. Volumet av sylinderen er gitt ved standardformelen: V = pir ^ 2h Kuglens radius, R er hypotenuse av trekanten med sider r og 1 / 2h, slik at vi bruker Pythagoras, har vi: R ^ 2 = r ^ 2 + (1/2 time) ^ 2:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2:. 2 ^ = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 Vi kan erstatte dette inn i volum Les mer »

Advarsel: Din matte lærer vil ikke like denne løsningsmetoden! (men det er nærmere hvordan det ville bli gjort i den virkelige verden). Merk at hvis x er veldig liten (slik at stigen er nesten vertikal), vil stigenes lengde være nesten oo, og hvis x er veldig stor (slik at stigen er nesten horisontal), vil stigenes lengde (igjen) være nesten oo Hvis vi starter med en veldig liten verdi for x og gradvis øker den, blir lengden på stigen (i utgangspunktet) kortere, men på et tidspunkt må den begynne å øke igjen. Vi kan derfor finne bracketingverdier en "lav X" o Les mer »

Jeg vil si oo; I grensen din kan du nærme 1 fra venstre (x mindre enn 1) eller høyre (x større enn 1) og nevneren vil alltid være et veldig lite tall og positivt (på grunn av kraften til to) som gir: lim_ ( x-> 1) (5 / (x-1) ^ 2) = 5 / (+ 0,0000 .... 1) = oo Les mer »

Lim_ (x-> 0) (cos (x) -1) / x = 0. Vi bestemmer dette ved å benytte L'Hospital's Rule. For å omskrive, sier L'Hospital-regelen at når gitt en grense for skjemaet lim_ (x a) f (x) / g (x), hvor f (a) og g (a) er verdier som fører til at grensen blir ubestemt (oftest, hvis begge er 0 eller en form for ), så lenge begge funksjonene er kontinuerlige og differensierbare i og i nærheten av a, kan man si at lim_ (x a) f (x) / g (x) = lim_ (x a) (f '(x)) / (g' (x)) Eller i ord er grensen for kvoten av to funksjoner lik grensen for kvotienten av derivatene. I eksemplet som er Les mer »

Det er flere måter å skrive på. De alle fanger den samme ideen. For y = f (x) er derivatet av y (med hensyn til x) y '= dy / dx = lim_ (Deltax rarr0) (Delta y) / (Delta x) f' (x) = lim_ (Deltax rarr0 ) (f (x + Delta x) -f (x)) / (Delta x) f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) -f (x)) / x) = lim_ (urarrx) (f (u) -f (x)) / (ux) Les mer »

Lim_ (x-> 0) sin (x) / x = 1. Vi bestemmer dette ved bruk av L'Hospital's Rule. For å omskrive, angir L'Hospitals regel at når en grense for skjemaet lim_ (x-> a) f (x) / g (x) er gitt, hvor f (a) og g (a) er verdier som gir grensen til være ubestemt (oftest, hvis begge er 0 eller noen form for oo), så lenge begge funksjonene er kontinuerlige og differensierbare i og i nærheten av a, kan man si at lim_ (x-> a) f (x ) / g (x) = lim_ (x-> a) (f '(x)) / (g' (x)) Eller i ord er grensen for kvoten til to funksjoner lik grensen for kvoten til deres derivater. I eksemplet s Les mer »

E ^ 4 Merk binomialdefinisjonen for Euler-tallet: e = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / x) ^ x- = lim_ (x-> 0) (1 + x) ^ (1 / x) Her Jeg vil bruke x-> oo-definisjonen. I denne formelen, la y = nx Da 1 / x = n / y, og x = y / n Euler tallet blir da uttrykt i en mer generell form: e = lim_ (y-> oo) (1 + n / y) ^ (y / n) Med andre ord, e ^ n = lim_ (y-> oo) (1 + n / y) ^ y Siden y er også en variabel, kan vi erstatte x i stedet for y: e ^ n = lim_ (x-> oo) (1 + n / x) ^ x Derfor, når n = 4, lim_ (x-> oo) (1 + 4 / x) ^ x = e ^ 4 Les mer »

Lim_ (x rarr 0 ^ +) 1 / x- (1) / (e ^ x-1) = 1/2 La: f (x) = 1 / x- (1) / (e ^ x-1) " "= (e ^ x-1 - x) / (xe ^ xx) Da søker vi: L = lim_ (x rarr 0 ^ +) f (x) lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x-1 - x) / (xe ^ xx) Da dette har en ubestemt form 0/0, kan vi bruk L'Hôpitals regel. L = lim_ (x rarr 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1 - x)) / (d / dx (xe ^ xx)) = lim_ (x rarr 0 ^ +) -1) / (xe ^ x + e ^ x - 1) Igjen, dette er av en ubestemt form 0/0 kan vi søke på nytt L'Hôpitals regel igjen: L = lim_ (x rarr 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1)) / (d / dx (xe ^ x + e ^ x -1)) = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x) / (xe ^ x Les mer »

Hvis to grenser legges sammen hverandre nærmer seg 0, nærmer hele greien 0. Bruk egenskapen som begrenser distribuere over tillegg og subtraksjon. => lim_ (x-> oo) 1 / x - lim_ (x-> oo) 1 / (e ^ x - 1) Den første grensen er trivial; 1 / "stor" ~ ~ 0. Den andre spør deg om at e ^ x øker etter hvert som x øker. Derfor, som x-> oo, e ^ x -> oo. => farge (blå) (lim_ (x-> oo) 1 / x - 1 / (e ^ x - 1)) = 1 / oo - 1 / (oo - avbryt (1) ^ "liten") = 0 - 0 = farge (blå) (0) Les mer »

Lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = 1/2 Sum de to begrepene: 1 / x-1 / (e ^ x-1) = x + 1) / (x (e ^ x-1)) Grensen er nå i ubestemt form 0/0 slik at vi nå kan bruke l'Hospital's regel: lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x- 1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (d / dx (e ^ x + 1-x)) / (d / dx x x-> 0 ^ +) (1 x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (e ^ x-1) / (e ^ x-1 + xe ^ x ) og som dette er til i 0/0 en annen gang: lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1)) / (d / dx (e ^ x-1 + xe ^ x)) lim_ (x-> 0 ^ +) 1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (e ^ x + xe ^ x + e ^ x) Les mer »

Se nedenfor Først skriv om dette som lim_ (x-> 1) 7 / (4 (x-1) ^ 2 nå faktor (x-1) ^ 2 = (x-1) (x-1) = x ^ 2- 2x + 1 frac {7} {4x ^ 2-2x + 1} nå erstattet x -> 1 frac {7} {4 (1) ^ 2 -2 (1) +1 7/3 derfor lim_ > 1) 7 / (4 (x-1) ^ 2) = 7/6 Les mer »

1 / ex ^ (1 / (1-x)): graf {x ^ (1 / (1-x)) [-2.064, 4.095, -1.338, 1.74]} Vel, dette ville være mye enklere hvis vi bare tok ln på begge sider. Siden x ^ (1 / (1-x)) er kontinuerlig i det åpne intervallet til høyre for 1, kan vi si at: ln [lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ x) (1 x (1 x)) = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ Siden ln (1) = 0 og (1 - 1) = 0, er dette av skjemaet 0/0 og L'Hopitals regel gjelder: = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) Og selvfølgelig er 1 / x kontinuerlig fra hver side av x = 1. => ln [lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))] = -1 Som et resultat er den opprinnel Les mer »