Kalkulus

(Jeg antar at du mener x = 0) Funksjonen ved hjelp av kraftegenskapene blir: y = ((1 + x) ^ (1/2)) ^ (1/5) = (1 + x) ^ 1/2) (1/5)) = (1 + x) ^ (1/10) For å gjøre en lineær tilnærming til denne funksjonen er det nyttig å huske MacLaurin-serien, det er Taylors polinoom sentrert i null. Denne serien, avbrutt til den andre kraften, er: (1 + x) ^ alfa = 1 + alfa / (1!) X + (alfa (alfa-1)) / (2!) X ^ 2 ... så den lineære tilnærming av denne funksjonen er: g (x) = 1 + 1 / 10x Les mer »

Grafen er en hyperbola, så det er to symmetrilinjer: y = x-1 og y = -x + 1 Grafen av y = 1 / (x-1) er en hyperbola. Hyperboler har to symmetrilinjer. begge sylinderlinjene passerer gjennom midten av hyperbola. Man går gjennom kryssene (og gjennom foci) og den andre er vinkelrett på den første. Grafen av y = 1 / (x-1) er en oversettelse av grafen på y = 1 / x. y = 1 / x har senter (0,0) og to av symmetri: y = x og y = -x For y = 1 / (x-1) har vi erstattet x ved x-1 (og vi har ikke erstattet y Alt går 1 til høyre, grafen, asymptotene og symmetrilinjene. Y = 1 / (x-1) har senter (1,0) og to Les mer »

3/2 * (sqrt (x ^ 3 - 2x + 3)) * (3x ^ 2 - 2) Kjederegelen: d / dx f (g (x)) = f ' (x) Kraftregelen: d / dx x ^ n = n * x ^ (n-1) Bruk av disse reglene: 1 Den indre funksjonen, g (x) er x ^ 3-2x + 3, den ytre funksjonen, f (x) er g (x) ^ (3/2) 2 Ta derivatet av ytre funksjonen ved å bruke kraftregelen d / dx (g (x)) ^ (3/2) = 3/2 * g (x) ^ (3/2 - 2/2) = 3/2 * g (x) ^ (1/2) = 3/2 * sqrt (g (x)) f '(g (x)) = 3/2 * sqrt (x ^ 3 - 2x + 3) 3 Ta derivatet av den indre funksjonen d / dx g (x) = 3x ^ 2 -2 g '(x) = 3x ^ 2 -2 4 Multipliser f' (g (x )) med g '(x) (3/2 * sqrt (x ^ 3 - 2x + 3)) * (3x ^ 2-2) l Les mer »

Intx ^ 2e ^ (- x) dx = -e ^ (- x) (x ^ 2 + 2x + 2) + C Integrering av deler sier at: intv (du) / (dx) = uv-intu (dv) / (dx) u = x ^ 2 (du) / (dx) = 2x (dv) / (dx) = e ^ (- x); v = -e ^ (- x) intx ^ 2e ^ dx = -x ^ 2e ^ (- x) -int-2xe ^ (- 2x) dx Nå gjør vi dette: int-2xe ^ (- 2x) dx u = 2x; (du) / (dx) = 2 ) - (dx) = - e ^ (- x); v = e ^ (- x) int-2xe ^ (- x) dx = 2xe ^ (- x) -int2e ^ (- x) dx = 2xe ^ -x) + 2e ^ (- x) intx ^ 2e ^ (- x) dx = -x ^ 2e ^ (- x) - (2xe ^ (- x) + 2e ^ (- x)) = - x ^ 2e ^ (- x) -2xe ^ (- x) -2e ^ (- x) + C = -e ^ (- x) (x ^ 2 + 2x + 2) + C Les mer »

"Normal" => y = - (3x) / (8-24sqrt3) + (152sqrt3-120 + 3pi) / (24-72sqrt2) => y ~~ 0,089x-1,52 Den normale er den vinkelrette linjen til tangenten. f (x) = sek (4x) -cot (2x) f '(x) = 4sek (4x) tan (3x) + 2csc ^ 2 (2x) f' (pi / 3) = 4sec ((4pi) / 3 ) tan (4pi) / 3) + 2csc ^ 2 ((2pi) / 3) = (8-24sqrt3) / 3 For normal, m = -1 / (f '(pi / 3)) = -3 / 8-24sqrt3) f (pi / 3) = sek (4pi) / 3) -cot ((2pi) / 3) = (sqrt3-6) / 3 (sqrt3-6) / 3 = -3 / 24sqrt3) (pi / 3) + cc = (sqrt3-6) / 3 + pi / (8-24sqrt3) = (152sqrt3-120 + 3pi) / (24-72sqrt2) "Normal": y = - (3x) / (8-24sqrt3) + (152sqrt3-120 + 3 Les mer »

Jeg tror du spør om retningsderivatet her, og den maksimale forandringshastigheten som er gradienten, som fører til normal vektorvekt n. Så for skalar f (x, y) = y ^ 2 / x, kan vi si det: nabla vec f = langle - y ^ 2 / x ^ 2, (2y) / x rangle = vec n Og: vec n _ { 2,4)} = nabla f _ {(2,4)} = langle -4, 4 rangle Så vi kan konkludere med at: abs (vec n _ {(2,4)}) = abs (langle -4, 4 rangle) = 2 sqrt2 Les mer »

X_ {max} = + infty x_ {min} = 0 Funksjonen har en vertikal asymptote i x = pi og maksimum er når nevneren har laveste verdi bare for x = + pi, i stedet er minimum når nevneren er den største dvsfor x = 0 og x = 2pi Den samme konklusjonen kunne ha blitt utledet ved å avlede funksjonen og studere tegnet på det første derivatet! Les mer »

Først av alt er det ingen ubestemte tall. Det er tall og det finnes beskrivelser som høres ut som om de kan beskrive et tall, men de gjør det ikke. "Tallet x som lager x + 3 = x-5" er en slik beskrivelse. Som er "Tallet 0/0." Det er best å unngå å si (og tenke) at "0/0 er et ubestemt antall". . I sammenheng med grenser: Når vi vurderer en grense for en funksjon "bygget" av noen algebraisk kombinasjon av funksjoner, bruker vi egenskapene til grenser. Her er noen av. Legg merke til tilstanden som er angitt i begynnelsen. Hvis lim_ (xrarra) f (x) eksis Les mer »

9 Relativ minimum og maksimum poeng kan bli funnet ved å sette derivatet til null. I dette tilfellet er f '(x) = 0 iff6x-6 = 0 iff x = 1 Den tilsvarende funksjonsverdien ved 1 er f (1) = 9. Derfor er punktet (1,9) et relativ ekstreme punkt. Siden det andre derivatet er positivt når x = 1, f '' (1) = 6> 0, betyr det at x = 1 er et relativt minimum. Siden funksjonen f er et 2-trinns polynom, er grafen en parabola og dermed f (x) = 9 er også det absolutte minimumet av funksjonen over (-oo, oo). Den vedlagte grafen verifiserer også dette punktet. graf {3x ^ 2-6x + 12 [-16.23, 35.05, -0.7, 24. Les mer »

Minimumverdien er ved x = 1-kvadrat 5 ca. "-" 1.236; g (1 - sqrt 5) = - (1 + sqrt 5) / (8) ca "-" 0,405. På et lukket intervall vil de mulige stedene for et minimum være: et lokalt minimum innenfor intervallet eller intervallets endepunkter. Vi beregner og sammenligner derfor verdier for g (x) ved en hvilken som helst x i ["-2", 2] som gjør g '(x) = 0, så vel som ved x = "- 2" og x = 2. Først: hva er g '(x)? Ved hjelp av kvotientregelen får vi: g '(x) = (1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 farge (hvit) g (x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + Les mer »

Funksjonen øker kontinuerlig i intervallet [1,7] sin minimumsverdi er ved x = 1. Det er åpenbart at x ^ 2-2x-11 / x ikke er definert ved x = 0, men det er definert i intervallet [1,7]. Nå er derivatet av x ^ 2-2x-11 / x 2x-2 - (-11 / x ^ 2) eller 2x-2 + 11 / x ^ 2 og det er positivt gjennom hele [1,7]. Derfor er funksjonen kontinuerlig økning i intervallet [1,7], og som sådan er minimumverdien av x ^ 2-2x-11 / x i intervallet [1,7] ved x = 1. graf {x ^ 2-2x-11 / x [-40, 40, -20, 20]} Les mer »

Det er en minimumsverdi på 0 som ligger både ved x = 0 og x = 1. Først kan vi umiddelbart skrive denne funksjonen som g (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) Tilbakekalling som csc (x) = 1 / sin (x). Nå, for å finne minimumsverdier i et intervall, gjenkjenn at de kunne oppstå enten i intervallets endepunkter eller ved eventuelle kritiske verdier som forekommer i intervallet. For å finne de kritiske verdiene i intervallet, sett avledet av funksjonen lik 0. Og for å skille mellom funksjonen må vi bruke produktregelen. Anvendelse av produktregelen gir oss g '(x) = sin (pix) d Les mer »

Lim_ (xtooo) logg (4 + 5x) - logg (x-1) = logg (5) lim_ (xtooo) logg (4 + 5x) - logg (x-1) = lim_ (xtooo) logg ) / (x-1)) Ved hjelp av kjederegel: lim_ (xtooo) logg (4 + 5x) / (x-1)) = lim_ (utoa) logg (lim_ (xtooo) (4 + 5x) / 1)) lim_ (xtooo) (øks + b) / (cx + d) = a / c lim_ (xtooo) (5x + 4) / (x-1) = 5 lim_ (uto5) logg Les mer »

-in (pi / 2x ^ 2-pix) * (pix-pi) Først tar du derivatet av ytre funksjonen, cos (x): -in (pi / 2x ^ 2-pix). Men du må også multiplisere dette med derivatet av hva som er inne, (pi / 2x ^ 2-pix). Gjør denne termen etter term. Derivatet av pi / 2x ^ 2 er pi / 2 * 2x = pix. Derivatet av -pix er bare -pi. Så svaret er -in (pi / 2x ^ 2-pix) * (pix-pi) Les mer »

Svaret er x + arctan (x) Først bemerkes at: (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) kan skrives som (1 + 1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 / (1 + x ^ 2) + (1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 + 1 / (1 + x ^ 2) => int (2 + x ^ 2) / + x ^ 2) dx = int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = int [1] dx + int [1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + int [1 / ( 1 + x ^ 2)] dx = Derivatet av arctan (x) er 1 / (1 + x ^ 2). Dette innebærer at antidivivativet av 1 / (1 + x ^ 2) er arctan (x) Og det er på grunnlag at vi kan skrive: int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + arctan x) Derfor int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx == int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + arctan (x) + c Les mer »

Her er et eksempel ... Du kan ha (nsin (t), mcos (t)) når n! = M og n og m ikke er lik 1. Dette er i hovedsak fordi: => x = nsin (t) => x ^ 2 = n ^ 2sin ^ 2 (t) => x ^ 2 / n ^ 2 = sin ^ 2 (t) => y = mcos (t) => y ^ 2 / m ^ 2 = cos ^ 2 (t) => x ^ 2 / n ^ 2 + y ^ 2 / m ^ 2 = sin ^ 2 (t) + cos ^ 2 (t) Ved å bruke det faktum at sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 x) = 1 ... => x ^ 2 / n ^ 2 + y ^ 2 / m ^ 2 = 1 Dette er egentlig en ellipse! Merk at hvis du vil ha en ellipse uten sirkel, må du sørge for at n! = M Les mer »

Intcosx / sin ^ 2xdx = -cscx La u = sinx, da du = cosxdx og intcosx / sin ^ 2xdx = int (du) / u ^ 2 = -1 / u = -1 / sinx = -cscx Les mer »

43 Den øyeblikkelige hastigheten er gitt av (ds) / dt. Siden s (t) = t ^ 3 + 8t ^ 2-t, (ds) / dt = 3t ^ 2 + 16t-1. Ved t = 2, [(ds) / dt] _ (t = 2) = 3 * 2 ^ 2 + 16 * 2-1 = 43. Les mer »

Sekvensen konvergerer For å finne ut om sekvensen a_n = ln (n ^ 2) / n = (2ln (n)) / n konvergerer, observerer vi hva a_n er som n-> oo. (n-> oo) (2ln (n)) / n Bruk l'Hôpitals regel, = lim_ (n-> oo) (2 / n) / 1 = lim_ (n-> oo) 2 / n = 0 Siden lim_ (n-> oo) a_n er en endelig verdi, konvergerer sekvensen. Les mer »

Svaret er (3x ^ 2-3) * (2x ^ 2 + 3x + 5) + (x ^ 3 - 3x) * (4x + 3), noe som forenkler til 10x ^ 4 + 12x ^ 3-3x ^ 2- 18x-15. I henhold til produktregelen, (f g) '= f' g + f g 'Dette betyr bare at når du skiller et produkt, gjør du avledet av den første, la det andre alene, pluss derivat av det andre, forlater den første alene. Så den første ville være (x ^ 3 - 3x) og den andre ville være (2x ^ 2 + 3x + 5). Ok, nå er derivaten av den første 3x ^ 2-3, ganger den andre er (3x ^ 2-3) * (2x ^ 2 + 3x + 5). Derivatet av det andre er (2 * 2x + 3 + 0), eller bare (4x + Les mer »

112pi "eller" 351.86 cm "/" min En mynt kan sees på som en liten sylinder. Og volumet er oppnådd fra formelen: V = pir ^ 2h Vi blir bedt om å finne ut hvordan volumet endrer seg. Dette betyr at vi ser størrelsesvolumet i forhold til tiden, det vil si (dV) / (dt). Så alt vi må gjøre er å skille volum med tiden, som vist nedenfor, => (dV) / dt) = d (pir ^ 2h) / (dt) = pi (2r * (dr) / (dt) + (dh) / (dt)) Vi fortalte at: (dr) / (dt) = 6 cm "/" min, (dh) / (dt) = 4 cm "/" min, r = 9 cm og h = 12 cm => (dV) / (dt) = pi (2 (9) * (4)) = 112pi ~ = Les mer »

2 sek) (tan (2x)) + (tan (2x)) (sek (2x)) '(sek ^ 2 (2x)) Produktregel) y '= (sek (2x)) (sec ^ 2 (2x)) (2) + (tan (2x)) (sek (2x) tan (2x)) (2) ) 2 = 2sek (2x) tan ^ 2 (2x) y '= 2sek (2x) (sec ^ 2 (2x) + tan ^ 2 (2x)) Les mer »

Produktregelen for derivater sier at gitt en funksjon f (x) = g (x) h (x), derivatet av funksjonen er f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) Produktregelen brukes først og fremst når funksjonen for hvilken man ønsker derivatet, er blatant produktet av to funksjoner, eller når funksjonen vil bli lettere differensiert hvis man ser på som produktet av to funksjoner. For eksempel, når man ser på funksjonen f (x) = tan ^ 2 (x), er det lettere å uttrykke funksjonen som et produkt, i dette tilfellet nemlig f (x) = tan (x) tan (x). I dette tilfellet er det enklere å uttrykke f Les mer »

Y '= (5x-2) ^ 3 (6x + 1) ^ 2 (15) / (5x-2) + (12) / (6x + 1)) l / ln (y) = 3ln (5x-2 ) + 2ln (6x + 1) 2 / (1) / (y) y '= (3) (1) / (5x-2)) (5) + (2) (1) / (6x + 1 ) (6) 3 / (1) / (y) y '= (15) / (5x-2) + (12) / (6x + 1) 4 / y' = y ((15) / (5x- 2) + (12) / (6x + 1)) 5 / y '= (5x-2) ^ 3 (6x + 1) ^ 2 (15) / (5x-2) + (12) / 1)) Les mer »

En grense lar oss undersøke tendensen til en funksjon rundt et gitt punkt, selv når funksjonen ikke er definert på punktet. La oss se på funksjonen nedenfor. f (x) = {x ^ 2-1} / {x-1} Siden nevneren er null når x = 1, er f (1) udefinert; Imidlertid eksisterer grensen ved x = 1 og indikerer at funksjonsverdien nærmer seg 2 der. lim_ {x til 1} {x ^ 2-1} / {x-1} = lim_ {x til 1} {(x + 1) (x-1)} / {x-1} = lim_ {x til 1 } (x + 1) = 2 Dette verktøyet er veldig nyttig i kalkulator når hellingen til en tangentlinje er tilnærmet av skråningene av sekantlinjer med nærliggende sk Les mer »

Y = x-7 La y = f (x) = x ^ 2-5x + 2 Ved x = 3, y = 3 ^ 2-5 * 3 + 2 = 9-15 + 2 = -6 + 2 = -4 Så er koordinaten på (3, -4). Vi må først finne hellingen til tangentlinjen ved punktet ved å differensiere f (x) og plugge inn x = 3 der. : .f '(x) = 2x-5 Ved x = 3, f' (x) = f '(3) = 2 * 3-5 = 6-5 = 1 Så vil sporet av tangentlinjen være der 1. Nå bruker vi punkt-skråningsformelen for å finne ut ligningens ekvation, det vil si: y-y_0 = m (x-x_0) hvor m er helling av linjen, (x_0, y_0) er originalen koordinater. Og så, y - (- 4) = 1 (x-3) y + 4 = x-3 y = x-3-4 y = x- Les mer »

Forandringshastigheten for bredden med tiden (dW) / (dt) = 0,6 "ft / s" (dW) / (dt) = (dW) / (dh) xx (dh) / dt (dh) / ) = - (dW) / (dh) Wxxh = 60 W = 60 / h (dW) / (()) dh) = - (60) / (h2 2) Så (dW) / (dt) = - (- (60) / (h2 2)) = (60) / (h ^ 2) Så når h = 10 : rArr (dW) / (dt) = (60) / (10 ^ 2) = 0,6 "ft / s" Les mer »

Den gjennomsnittlige forandringshastigheten gir helling av en sekantlinje, men den øyeblikkelige forandringshastigheten (derivatet) gir hellingen til en tangentlinje. Gjennomsnittlig endringshastighet: (f (x + h) -f (x)) / h = (f (b) -f (a)) / (ba), hvor intervallet er [a, b] Øyeblikkelig endringshastighet : lim_ (h -> 0) (f (x + h) -f (x)) / h Vær også oppmerksom på at gjennomsnittshastigheten til forandring tilnærmer seg den øyeblikkelige forandringshastigheten over svært korte intervaller. Les mer »

Y = cscx = 1 / sinx = (sinx) ^ - 1 For å finne et maksimum / min finner vi det første derivatet og finner verdiene som derivatet er null. y = (sinx) ^ - 1: .y '= (- 1) (sinx) ^ - 2 (cosx) (kjederegel): .y' = - cosx / sin ^ 2x Ved maks / min, y '= 0 = x = pi / 2 => y = 1 / sin (pi / 2) = 1 Når x = -pi / 2 => y = 1 / sin (-pi / 2) = - 1 Så er det vendepunkter på (-pi / 2, -1) og (pi / 2,1) På grafen for y = cscx ser vi at (-pi / 2, -1) er et relativt maksimum og (pi / 2,1) er et relativt minimum. graf {csc x [-4, 4, -5, 5]} Les mer »

I = 1 / 4ln (x ^ 4-4x ^ 2) + C Vi vil løse I = int (x ^ 2-2) / (x ^ 3-4x) dx Multipliser DEN og NUM ved x I = int x ^ 3-2x) / (x ^ 4-4x ^ 2) dx Nå kan vi lage en fin substitusjonsfarge (rød) (u = x ^ 4-4x ^ 2 => du = 4x ^ 3-8xdx = 4 x ^ 3-2x) dx I = 1 / 4int1 / udu farge (hvit) (I) = 1 / 4ln (u) + C farge (hvit) (I) = 1 / 4ln (x ^ 4-4x ^ 2) + C Les mer »

Som forklart nedenfor. Hvis det er et konservativt vektorfelt F (x, y, z) = Mdx + Ndy + Pdz. dets potensielle funksjon kan bli funnet. Hvis den potensielle funksjonen er, si f (x, y, z), så f_x (x, y, z) = M, f_y (x, y, z) = N og f_z (x, y, z) = P . Da, f (x, y, z) = int Mdx + C1f (x, y, z) = int Ndy + C2 og f (x, y, z) = int Pdz + C3, hvor C1 ville være en funksjon av y og z, C2 ville være en funksjon av x og z, C3 ville være noen funksjon av x og y Fra disse tre versjoner av f (x, y, z) kan potensiell funksjon f (x, y, z) bli avgrenset . Å ta opp noe bestemt problem ville bedre illustrere metoden Les mer »

-1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) For å skille mellom dette vil vi anvende en kjedestyre: Begynn å la theta = arcsin (1 / x) => synd (theta) = 1 / x Differensiere hver term på begge sider av ligningen med hensyn til x => cos (theta) * (d (theta)) / (dx) = - 1 / x ^ 2 Ved hjelp av identiteten: cos ^ 2theta + sin ^ 2theta = 1 => costheta = sqt (1-sin ^ 2theta) => sqrt (1-sin ^ 2theta) * (d (theta)) / (dx) = - 1 / x ^ 2 => (d (theta)) / 1 / x ^ 2 * 1 / sqrt (1-sin ^ 2theta) Tilbakekall: synd (theta) = 1 / x "" og "" theta = arcsin (1 / x) Så vi kan skrive, (d (arcsin / x))) / (dx) = Les mer »

F (x) = 6 / x ^ 4> omskriv f (x) = 1 / x ^ 2 = x ^ -2 rArr f '(x) = -2x ^ -3 rArr f' '(x) = 6x ^ -4 = 6 / x ^ 4 Les mer »

(4f * g) (x) La P (x) = (f * g) (x) = f (x) g (x) Bruk deretter produktregelen: P '(x) = f' (x) g x) + f (x) g '(x). Ved hjelp av tilstanden gitt i spørsmålet, får vi: P '(x) = (g (x)) ^ 2+ (f (x)) ^ 2 Nå bruker du kraft- og kjedebestemmelsene: P' '(x) = 2g (x) g '(x) + 2f (x) f' (x). Ved å bruke den spesielle betingelsen til dette spørsmålet igjen, skriver vi: P '' (x) = 2g (x) f (x) + 2f (x) g (x) = 4f (x) g (x) = 4 g) (x) Les mer »

H '' (x) = 9 sek (3x + 1) [sec ^ 2 (3x + 1) + tan ^ 2 (3x + 1)] Gitt: h (x) = sec (3x + 1) Bruk følgende derivat regler: (se deg) '= det er du som har det; "(tan u) '= u' sec ^ 2 u Produktregel: (fg) '= f g' + g f 'Finn det første derivatet: La u = 3x + 1; (3x + 1) tan (3x + 1) Finn det andre derivatet ved hjelp av produktregelen: La f = 3 sek (3x + 1); "" f '= 9 sek (3x + 1) tan (3x + 1) La g = tan (3x + 1); (3x + 1)) (3 sek ^ 2 (3x + 1)) + (tan (3x + 1)) (3x + 1) tan (3x + 1)) h '' (x) = 9 sek ^ 3 (3x + 1) + 9tan ^ 2 (3x + 1) sek (x) = 9 sek (3x + 1) [s Les mer »

F '' (x) = sec x ( sec ^ 2 x + tan ^ 2 x) gitt funksjon: f (x) = sec x Differensiering w.r.t. x som følger frac {d} {dx} f (x) = frac {d} {dx} ( sec x) f '(x) = sek x tan x Igjen, differenserer f' (x) w.r.t. x, vi får frac {d} {dx} f '(x) = frac {d} {dx} ( sec x tan x) f''x (x) = sec x frac {d} { dx} tan x + tan x frac {d} {dx} secx = sec xsec ^ 2 x + tan x sec x tan x = sec ^ 3 x + sec x tan ^ 2 x = sek x ( sec ^ 2 x + tan ^ 2 x) Les mer »

D ^ 2 / (dx ^ 2) x / (x-1) = 2 / (x-1) ^ 3 For dette problemet vil vi bruke kvotientregelen: d / dx f (x) / g (x) = Vi kan også gjøre det litt lettere ved å dele for å få x / (x-1) = (x) 1 + 1 / (x-1) Første derivat: d / dx (1 + 1 / (x-1)) = (d / dx1) + (d / dx ((x-1) (d / dx1) -1 (d / dx (x-1))) / (x-1) ^ 2) = 0 + ((x-1) (0) - (1) (1)) / (x-1) ^ 2 = 1 / (x-1) ^ 2 Andre derivat: Det andre derivatet er derivatet av det første derivatet. d ^ 2 / (dx ^ 2) (1 + 1 / (x-1)) = d / dx (-1 / (x-1) ^ 2) = - ((x-1) ^ 2 (d / dxl ) -1 (d / dx (x-1) ^ 2)) / [(x-1) ^ 2 ^ 2 = - (x-1) ^ 2 (0) -1 (2 (x-1) Les mer »

Spørsmål 1 Hvis f (x) = (g (x)) / (h (x)) så av kvotientregelen f '(x) = (g' (x) * h (x) - g (x) * h (x)) / ((g (x)) ^ 2) Så hvis f (x) = x / (x-1) så er det første derivatet f '(x) = ((1) (x-1) (x) (1)) / x ^ 2 = - 1 / x ^ 2 = - x ^ (- 2) og det andre derivatet er f '' (x) = 2x ^ -3 Spørsmål 2 Hvis f (x) = 2 / x Dette kan skrives om som f (x) = 2x ^ -1 og bruker standardprosedyrer for å ta derivatet f '(x) = -2x ^ -2 eller, hvis du foretrekker f' (x) = - 2 / x ^ 2 Les mer »

Y ^ ('') = (2 * x (x ^ 2-24)) / ((16-x ^ 2) * sqrt (16-x ^ 2)) Start med å beregne det første derivatet av funksjonen y = x * sqrt (16-x ^ 2) ved å bruke produktregelen. Dette vil få deg d / dx (y) = [d / dx (x)] * sqrt (16 - x ^ 2) + x * d / dx (sqrt (16 - x ^ 2)) Du kan differensiere d / dx (sqrt (16-x ^ 2)) ved å bruke kjedelinjen for sqrt (u), med u = 16 -x ^ 2. d / dx (sqrt (u)) = d / (du) sqrt (u) * d / dx (u) d / dx (sqrt (u)) = 1/2 * 1 / sqrt (u) * d / dx (16-x ^ 2) d / dx (sqrt (16-x ^ 2)) = 1 / farge (rød) (avbryt (farge (svart) (2))) * 1 / sqrt * (-color (rød) (avbryt ( Les mer »

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Vi må finne A, B, C slik at 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) for alle x. Multipliser begge sider med x ^ 2 (2x-1) for å få 1 = Akse (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Axe + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} Og dermed har vi A = -2, B = 1, C = 4. Ved å erstatte dette i den opprinnelige ligningen får vi 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Integrer den termen med termen int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx for å få 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Les mer »

Int_0 ^ 6x ^ 3dx ~~ 324 Simpsons regel sier at int_b ^ av (x) dx kan tilnærmes ved h / 3 [y_0 + y_n + 4y_ (n = "odd") + 2y_ (n = "like") h = (ba) / n = (6-0) / 6 = 6/6 = 1 int_0 ^ 6x ^ 3dx ~~ 1/3 [0 + 216 + 4 (1 + 27 + 125) +2 (8 + 64)] = [216 + 4 (153) 2 (72)] / 3 = [216 + 612 + 144] = 972/3 = 324 Les mer »

Konvergerer Vurder serien sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, hvor p> 1. Ved p-testen konvergerer denne serien. Nå, 1 / n ^ ln n <1 / n ^ p for alle store nok n så lenge p er en endelig verdi. Således, ved den direkte sammenligningstest, summerer sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ ln n. Faktisk er verdien omtrent lik 2.2381813. Les mer »

Dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x Bruk logaritmisk differensiering. y = (sinx) ^ x lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) (Bruk egenskapene til ln) Differensialiserer implisitt: (Bruk produktregelen og kjedevirksomheten) 1 / y dy / dx = 1ln ( sinx) + x [1 / sinx cosx] Så har vi: 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx Løs for dy / dx ved å multiplisere med y = (sinx) ^ x, dy / dx = ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x Les mer »

= (10 x 2 + 2) ^ 2 - (2x-5) ^ 5 * 4x (x ^ 2 + 2)) / (x ^ 2 + 2) ^ 4 f ' (x) = (f '(x) * g (x) - f (x) * g' (x)) / (g (x)) ^ 2f ' ) ^ 4 * 2) (x ^ 2 + 2) ^ 2) - (2x-5) ^ 5 * (2 (x ^ 2 + 2) * 2x)) / ((x ^ 2 + 2) ^ 2) ^ 2 = (10x2x5) ^ 4 * (x ^ 2 + 2) ^ 2 - (2x-5) ^ 5 * 4x (x ^ 2 + 2)) / (x ^ 2 + 2) ^ 4 Du kan redusere mer, men det kjeder seg løse denne ligningen, bare bruk algebraisk metode. Les mer »

(dy) / (dx) = (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2)) / (sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 ) / (dx) = 1 / (2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2)) * sen (x ^ 2 + 2) * 2x + 2sen (x + 2) ) / (dx) = (2xsen (x ^ 2 + 2) + 2sen (x + 2)) / (2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) (dx) = (avbryt2 (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2))) / (cancel2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) / (dx) = (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2)) / (sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) Les mer »

Vi vet at Maclaurin-serien e ^ x er sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) Vi kan også utlede denne serien ved å bruke Maclaurin-utvidelsen av f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) og det faktum at alle derivater av e ^ x er fortsatt e ^ x og e ^ 0 = 1. Bare erstatt ovenstående serie i (e ^ x-1) / x = (sum_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (1 + sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) 1) / x = (sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / X = sum_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) Hvis du vil at indeksen skal starte ved i = 0, bare erstatt n = i + 1: = sum_ (i = 0) ^ oox ^ i / ((i + 1) !) Nå, bare evaluer de tre f Les mer »

Dy / dx = -0,54 For en polarfunksjon f (theta), dy / dx = (f '(theta) sintheta + f (theta) costheta) / (f' (theta) costheta-f (theta) sintheta) f theta-sek ^ 3theta + thetasin ^ 3theta f '(theta) = 1-3 (sec ^ 2theta) (d / dx [sekte]) - sin ^ 3ta + 3thetasin ^ 2theta (d / dx [sintheta]) f '(theta) = 1-3sec ^ 3thetantanthet-sin ^ 3theta + 3thetasin ^ 2thetacostheta f' (5pi) / 3) = 1-3sec ^ 3 ((5pi) / 3) tan ((5pi) / 3) sin ^ 3 (5pi) / 3) +3 ((5pi) / 3) sin ^ 2 ((5pi) / 3) cos ((5pi) / 3) ~~9,98 f ((5pi) / 3) = (5pi) / 3) -sek ^ 3 ((5pi) / 3) + ((5pi) / 3) sin ^ 3 ((5pi) / 3) ~~ -6,16 dy / dx = (- 9,98sin Les mer »

Dy / dx = 10x (x ^ 2 + 1) ^ 4 Hvis vi skriver dette som: y = u ^ 5 så kan vi bruke kjedelinjen: dy / dx = (dy) / (du) * (du) / dx) (dy) / (du) = 5u ^ 4 (du) / (dx) = 2x dy / dx = (dy) / (du) * (du) / (dx) = 10xu ^ 4 Setter seg tilbake i x ^ 2 + 1 gir oss: dy / dx = 10x (x ^ 2 + 1) ^ 4 Les mer »

Se nedenfor. Hvis: y = lnx <=> e ^ y = x Bruk denne definisjonen med gitt funksjon: e ^ y = (sin (x + 3)) ^ 2 Differensiering implisitt: e ^ ydy / dx = 2 (sin (x + 3 ) * cos (x + 3)) / e ^ y dy / dx = (2 (sin (x) +3)) * cos (x + 3)) / (sin ^ 2 (x + 3)) Avbryter vanlige faktorer: dy / dx = (2 (avbryt (sin (x + 3))) * cos )) / (sin ^ avbryt (2) (x + 3)) dy / dx = (2cos (x + 3)) / (sin (x + 3)) Vi har nå derivatet og vil derfor kunne beregne gradient ved x = pi / 3 Plugging i denne verdien: (2cos ((pi / 3) +3)) / (sin ((pi / 3) +3)) ~~ 1.568914137 Dette er omtrentlig ligning av linjen: y = 15689 / 10000x-1061259119 Les mer »

(x), (x), (1,0), (0,1, -2,30 * 10 ^ - 4), (0,01, -4,61 * 10 ^ -8), (0,001, -6,91 * 10 ^ -12)] Når x har en tendens til 0 fra høyre side, forblir f (x) på den negative siden når x < 1, men verdiene selv kommer nærmere 0 når x-> 0 lim_ (xo0 ^ +) x ^ 4ln (x) = 0 graf {x ^ 4nn (x) [-0,05 1, -0,1, 0,01]} Les mer »

Hastighet av tangent til y ved x = 1/3 er -8 y = x ^ 2 (3x + 1 / x ^ 3) = x ^ 2 (3x + x ^ (-3)) dy / dx = x ^ 2 3-3x ^ (- 4)) + 2x (3x + x ^ (- 3)) Produktregel = 3x ^ 2-3x ^ (- 2) + 6x ^ 2 + 2x ^ (-2) = 9x ^ 2- x ^ (- 2) Hellingen (m) av tangenten til y ved x = 1/3 er dy / dx ved x = 1/3 Således: m = 9 * (1/3) ^ 2 - (1/3 ) ^ (- 2) m = 1-9 = 8 Les mer »

Hellingen er 0. Minima (flertallet av "minimum") av glatte kurver forekommer ved vendepunkter, som per definisjon også er stasjonære punkter. Disse kalles stasjonære fordi på disse punktene er gradientfunksjonen lik 0 (slik at funksjonen ikke beveger seg, det vil si at den er stasjonær).Hvis gradientfunksjonen er lik 0, er hellingen av tangentlinjen på det punktet også 0. Et enkelt eksempel på bildet er y = x ^ 2. Den har et minimum ved opprinnelsen, og det er også tangent til x-aksen på det punktet (som er horisontalt, det vil si en skråning på 0). Dett Les mer »

(a / 2) * (1 - a) "Du kan bruke Taylor - serien og slippe høyere ordrebetingelser i grensen for" x -> 0 "." x ^ y = exp (y * ln (x)) => (1 + x) ^ y = exp (y * ln (1 + x)) "og" ln (1 + x) = x - x ^ 2 / 2 + x ^ 3/3 - ... "og" exp (x) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + x ^ 4/24 + ... "Så" exp * ln (1 + x)) = exp (y * (x - x ^ 2/2 + ...)) => (1 + x) ^ (a / x) = exp ((a / x) * ln (1 + x)) = exp ((a / x) * (x - x ^ 2/2 + x ^ 3/3 - ...)) = exp (a - a * x / 2 + a * x ^ 2/3 - ...) => (1 + akse) ^ (1 / x) = exp (1 / x) * ln (1 + øks)) = exp ((1 / x) * økse) Les mer »

Bruk formelen: Areal = h / 2 (y_1 + y_n + 2 (y_2 + y_3 + ... + y_ (n-1))) for å få resultatet: Areal = 4314/3145 ~ = 1,37 h er trinnlengden Vi finn trinnlengden ved hjelp av følgende formel: h = (ba) / (n-1) a er minimumverdien av x og b er maksimumverdien av x. I vårt tilfelle er a = 0 og b = 6 n antall strimler. Derfor er n = 4 => h = (6-0) / (4-1) = 2 Så er verdiene x x 0,2,4,6 "NB:" Fra x = 0 legger vi til trinnlengden h = 2 for å få den neste verdien av x opp til x = 6 For å finne y_1 opp til y_n (eller y_4) plugger vi inn hver verdi av x for å få den tils Les mer »

Svaret er minimumet på intervallet er f (2) = e ^ 2} -2e ^ 2 som egentlig ikke er et valg, men (c) er en god tilnærming. f (x) = e ^ x} - 2e ^ x f '(x) = - e ^ x} - 2 e ^ x Det derivatet er klart negativt overalt, slik at funksjonen avtar over intervallet. Så er minimumsverdien f (2) = e ^ 2} -2e ^ 2. Hvis jeg var en stickler (som jeg er), ville jeg svare på Ingen av de ovennevnte fordi det ikke er noen måte at transcendental kvantitet kan tilsvare en av de rasjonelle verdiene. Men vi lever etter tilnærmingskulturen og går ut av kalkulatoren, som sier f (2) ca -14.6428 som er valg (c) Les mer »

Hellingen til den vinkelrette er 1/4, men kurven er 1 / {2sqrt {x}}, som alltid vil være negativ, så tangentet til kurven er aldri vinkelrett på y + 4x = 4. f (x) = 2 - x ^ {1/2} f '(x) = - 1/2 x ^ {- 1/2} = -1 / {2sqrt {x}} Linjen gitt er y = -4x + 4 har også helling -4, så dens perpendiculars har den negative gjensidige hellingen, 1/4. Vi setter derivatet lik og løser: 1/4 = -1 / {2 sqrt {x}} sqrt {x} = -2 Det er ingen ekte x som tilfredsstiller det, så ingen plass på kurven der tangenten er vinkelrett til y + 4x = 4. Les mer »

Den konvergerer helt. Bruk testen for absolutt konvergens. Hvis vi tar absoluttverdien av betingelsene, får vi serien 4 + 1 + 1/4 + 1/16 + ... Dette er en geometrisk serie fellesforhold 1/4. Dermed er det konvergerer. Siden begge | a_n | Konvergerer en konvergerer helt. Forhåpentligvis hjelper dette! Les mer »

H = 1000 / (2pix) - x for 31a, trenger du formelen for hele sylinderens overflateareal. Den totale overflaten på en sylinder er den samme som totalt av begge sirkulære flater (topp og bunn) og det buede overflatearealet. Det buede overflatearealet kan betraktes som et rektangel (hvis det skulle rulles ut). lengden på dette rektangelet ville være sylinderens høyde, og bredden sin ville være omkretsen av en sirkel på toppen eller bunnen. Omkretsen av en sirkel er 2pir. høyden er h. buet overflateareal = 2pirh. Området i en sirkel er pir ^ 2. område av topp og bunn sirkler: 2p Les mer »

Int cos (x) / (sin ^ 2 (x) + sin (x)) "d" x = ln | sin (x) / (sin (x) +1) | + C int cos (x) / (sin ^ 2 (x) + sin (x)) "d" x Erstatter u = sin (x) og "d" u = cos (x) "d" x. Dette gir = int ("d" u) / (u ^ 2 + u) = int ("d" u) / (u (u + 1)) Separat til partielle fraksjoner siden 1 / ) = 1 / u-1 / (u + 1): = int (1 / u-1 / (u + 1)) "d" u = ln | u | -ln | u + 1 | + C = ln | u / (u + 1) | + C Erstatt tilbake u = sin (x): = ln | sin (x) / (sin (x) +1) | + C Les mer »

Int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C Siden det er lettere å håndtere bare en x under en kvadratrot, fullfører vi plassen: x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + kx ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + kk = -4 x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx Nå må vi gjøre en trigonometrisk substitusjon. Jeg skal bruke hyperboliske trig-funksjoner (fordi sekantintegrert vanligvis ikke er veldig fint). Vi vil bruke følgende identitet: cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) For å gjøre dette, vil vi ha (x + 2) ^ 2 = 4 Les mer »

Hvis 0 <x <e ^ (- 15/56) er f konkav ned; Hvis x> e ^ (- 15/56) er f konkav opp; x = e ^ (- 15/56) er et (fallende) bøyningspunkt For å analysere konkavitets- og bøyningspunkter i en to ganger differensierbar funksjon f, kan vi studere positiviteten til det andre derivatet. Faktisk, hvis x_0 er et punkt i domenet til f, så: hvis f '' (x_0)> 0, er f konkav i et nabolag x_0; hvis f '' (x_0) <0, så er f konkav ned i et nabolag x_0; Hvis f '' (x_0) = 0 og tegnet på f '' i et tilstrekkelig lite høyre nabolag av x_0 er motsatt tegnet av f '' Les mer »

En funksjon er konkav når den andre derivaten er positiv, den er konkav ned når den er negativ, og det kan være et bøyningspunkt når det er null. y '= 18x ^ 2 + 54 y' '= 36x + 54 så: y' '> 0rArrx> -54 / 36rArrx> -3/2. I (-3 / 2, + oo) er konkaven opp, i (-oo, -3 / 2) konkav ned, i x = -3 / 2 er det et bøyepunkt. Les mer »

X = y = sqrt (a) x * y = a => x * y - a = 0f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "er minimal" "Vi kunne jobbe med Lagrange-multiplikatoren L: "f (x, y, l) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * ya)" Avledningsutbytter: "{df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 {df} / {dL} = x * ya = 0 => y = a / x => { df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(etter multiplikasjon med x"! = "0)" => L = - sqrt (x) / (2 * a Les mer »

1/4 "Du kan bruke Taylor-serien ekspansjon." cos (x) = 1 - x ^ 2/2! + x ^ 4/4! - ... tan (x) = x + x ^ 3/3 + 2 x ^ 5/15 + ... => cos ^ 2 (x) = 1 - x ^ 2 + x ^ 4 (1/4 + 2/24) ... = 1 - x ^ 2 + x ^ 4/3 ... => tan (3x) = 3x + 9 x ^ 3 + ... => (x * cos ^ 2 (x) ) / (x + tan (3x)) = (x - x ^ 3 + x ^ 5/3 ...) / (4x + 9 x ^ 3 + ...) x-> 0 => "høyere krefter forsvinner "= (x - ...) / (4x + ...) = 1/4 Les mer »

1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C Begynn med å faktorisere nevneren: 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) Nå kan vi gjøre partielle fraksjoner: 1 / (1 + x ^ 3) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2-x + 1)) = A / (x + 1) + (Bx + C) / (x ^ 2-x + 1) Vi finner A ved hjelp av omslagsmetoden: A = 1 / ((tekst (////)) (-1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1/3 Neste kan vi multiplisere begge sider av LHS-nevnen: 1 = 1/3 (x ^ 2-x + 1) + (Bx + C) 1) 1 = 1 / 3x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + Bx + Cx + C1 = (1/3 + B) x ^ 2 + (B + C-1/3) x + (C + 1/3) Dette gir følgende ligninger: 1/3 + B = 0 -> B = -1/ Les mer »

Poenget (2, -3) ligger ikke på den gjeldende kurven. Sett koordinatene (2, -3) i den gitte ligningen vi får: LHS = 2 (16) (4) (81) +6 (8) +7 (9) = 10368 +48 +63 ! = 2703 Så ligger ikke punktet (2, -3) på den angitte kurven. Les mer »

9 = e ^ (y ^ 2-y) / e ^ x + y-xy 9 = e ^ (y ^ 2-y) * e ^ (- x) + y-xy 9 = e ^ yx) + y - xy Differensier med hensyn til x. Derivatet av eksponensialet er seg selv, ganger derivaten av eksponenten. Husk at når du skiller noe som inneholder y, gir kjedestyrken deg en faktor av y '. 0 = e ^ (y ^ 2-yx) (2yy'-y'-1) + y '- (xy' + y) 0 = e ^ (y ^ 2-yx) (2yy'-y'-1) + y '- xy'-y Nå løse for y'. Her er en start: 0 = 2yye ^ (y ^ 2-yx) -y'e ^ (y ^ 2-yx) -e ^ (y ^ 2x) + y'-xy'-y Hent alle vilkår å ha y 'på venstre side. -2yy'e ^ (y ^ 2-y-x) + y' Les mer »

Begynn med å bruke distribusjonseiendommen. La y = sqrtx (x - 4) Så y = xsqrtx - 4sqrtx = x ^ (3/2) - 4x ^ (1/2) Differensiere ved hjelp av strømregelen. dy / dx = (3/2) x ^ (1/2) - 2x ^ (- 1/2) = (3/2) x ^ (1/2) - 2 / x ^ (1/2) = ( 3sqrtx / 2) - 2 / sqrtx Få en fellesnevner av 2sqrtx, og du kommer til deres svar. Les mer »

X = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + CI = int e ^ x cos (x) "d" x Vi vil bruk integrasjon av deler, som sier at int u "d" v = uv-int v "d" u. Bruk integrasjon av deler med u = e ^ x, du = e ^ x "d" x, "d" v = cos (x) "d" x og v = sin (x): I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x Bruk integrasjon av deler igjen til det andre integralet, med u = e ^ x, "d" u = e ^ x "d" x, " d "v = sin (x) " d "x og v = -cos (x): I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e xcos "x Nå, husk vi definerte I = int e ^ x cos (x) &quo Les mer »

0 "Dette spørsmålet er ugyldig som" 0.93969 "er et polynom av grad 0 som gjør jobben." "En kalkulator beregner verdien av cos (x) gjennom Taylor serien." "Taylor-serien cos (x) er:" 1 - x ^ 2 / (2!) + X ^ 4 / (4!) - x ^ 6 / (6!) + ... "Hva du trenger å vite er at vinkelen du fyller i denne serien må være i radianer. Så 20 ° = "pi / 9 = 0.349 ..." rad. " "For å ha en rask konvergent serie | x | må være mindre enn 1," "foretrukket mindre enn 0,5 jevn." "Vi har flaks som dette er tilfelle Les mer »

Se nedenfor: Første trinn er å finne det første derivatet av f. f (x) = 6x-x ^ 2f '(x) = 6-2x Derfor: f' (- 1) = 6 + 2 = 8 Verdien av 8s betydning er at dette er gradienten av f hvor x = - 1. Dette er også graden av tangentlinjen som berører grafen til f på det tidspunktet. Så vår linjelfunksjon er for tiden y = 8x Vi må imidlertid også finne y-interceptet, men for å gjøre dette trenger vi også y-koordinatet til punktet hvor x = -1. Plug x = -1 til f. f (-1) = - 6- (1) = - 7 Så et punkt på tangentlinjen er (-1, -7) Nå, ved å bruke Les mer »

Dy / dx = -1.5 Vi finner først d / dx av hvert begrep. d / dx [xy ^ 2] -d / dx [(1-xy) ^ 2] = d / dx [C] d / dx [x] y ^ 2 + d / dx [y ^ 2] x-2 1-xy) d / dx [1-xy] = 0 y ^ 2 + d / dx [y ^ 2] x-2 (1-xy) (d / dx [1] -d / dx [xy]) = 0 y ^ 2 + d / dx [y ^ 2] x-2 (1-xy) (- d / dx [x] y + d / dx [y] x) = 0 y2 + d / dx [y ^ 2] x-2 (1-xy) (- y + d / dx [y] x) = 0 Kjedestyrelsen forteller oss: d / dx = d / dy * dy / dx y ^ 2 + dy / dx d / dy [y ^ 2] x-2 (1-xy) (-y + dy / dxd / dy [y] x) = 0 y ^ 2 + dy / dx 2yx-2 (1-xy) dy / dx x) = 0 dy / dx 2yx-2 (1-x) dy / dx x = -y ^ 2-2y (1-xy) dy / dx (2yx-2x (1-x)) ^ 2-2y (1-xy) x dy / dx Les mer »

"Se forklaring" a_n = ((1 + 3 / n) ^ 4) ^ n = ((1 + 3 / n) ^ 2) ^ 2) ^ n = ((1 + 6 / n + 9 / n ^ 2) ^ 2) ^ n = (1 + 36 / n ^ 2 + 81 / n ^ 4 + 12 / n + 18 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3) ^ n = (1 + 12 / n + 54 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3 + 81 / n ^ 4) ^ n "Merk at du lettere kan bruke Euler grense her:" lim_ {n-> oo} (1 + 1 / n) ^ n = e = 2,7182818 .... => lim_ {n-> oo} (1 + 3 / n) ^ (12 * n / 3) = e ^ 12 = 162754.79 .... "Så sekvensen vokser veldig stor, men ikke uendelig stor, så det "" konvergerer. " Les mer »

"Sammenlign det med" sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2.7182818 ... "Hvert uttrykk er lik eller mindre enn" sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2.7182818 ... "Alle termer er positive, så summen S av serien er mellom" 0 <S <e = 2.7182818 .... "Så serien er absolutt konvergent." Les mer »

Se nedenfor Første trinn er å finne det andre derivatet av funksjonen f (x) = 2x ^ 4-e ^ (8x) f '(x) = 8x ^ 3-8e ^ (8x) f' '(x) = 24x ^ 2-64e ^ (8x) Da må vi finne en verdi på x hvor: f '' (x) = 0 (Jeg brukte en kalkulator for å løse dette) x = -0.3706965 Så ved den givne x-verdien er det andre derivatet 0. For at det skal være et bøyningspunkt, må det imidlertid være en skiltendring rundt denne x-verdien. Derfor kan vi plugge verdier inn i funksjonen og se hva som skjer: f (-1) = 24-64e ^ (- 8) definertly positiv som 64e ^ (- 8) er svært liten Les mer »

V = (2pi) / 15 Først trenger vi poengene hvor x og x ^ 2 møtes. x = x ^ 2 x ^ xx = 0 x (x-1) = 0 x = 0 eller 1 Så våre grenser er 0 og 1. Når vi har to funksjoner for volumet, bruker vi: V = piint_a ^ b (f (x) ^ 2-g (x) ^ 2) dx V = piint_0 ^ 1 (x ^ 2-x ^ 4) dx V = pi [x ^ 3/3-x ^ 5/5] _0 ^ 1 V = pi (1 / 3-1 / 5) = (2 pi) / 15 Les mer »

Y '= (2x-3) (xx ^ 2 + 4) +2 (x + 5) (3x ^ 2 + 4) + 6x (2x-3) (x + 5) y' = 24x ^ 3 + 63x ^ 2-74x + 28 Hvis y = uvw, hvor u, v og w er alle funksjonene til x, så: y '= uvw' + uv'w + u'vw (Dette kan bli funnet ved å lage en kjederegel med to Funksjoner substituert som en, det vil si å gjøre uv = z) u = x + 5 u '= 1 v = 2x-3 v' = 2 w = 3x ^ 2 + 4 w '= 6x y' = (2x-3) ^ X + 5) y '= 6x ^ 3 + 8x-9x ^ 2-12 + 6x ^ 3 + 8x + 30x ^ 2 + 40 + 12x ^ 3 + 60x ^ 2-18x ^ 2-90x y '= 24x ^ 3 + 63x ^ 2-74x + 28 Les mer »

Dy / dx = - (yx (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (- 1/2) -1-2y ^ -1) / (xy ^ -2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1 / 2) + y ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (- 1/2)) Ok, dette er en veldig lang en. Jeg nummererer hvert trinn for å gjøre det lettere, og jeg kombinerte ikke trinnene slik at du visste hva som skjedde. Begynn med: 2xy ^ -1 = y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) -x Først tar vi d / dx av hvert begrep: 2. d / dx [2xy ^ -1] = d / dx [y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2)] - d / dx [x] 3. d / dx [2x] y ^ -1 + xd / dx [y ^ -1] = d / dx [y] (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) + yd / dx [(x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2)] - d / dx [x] 4. 2y ^ -1 + xd / dx [y ^ -1] = d / dx [y] (x ^ 2 Les mer »

Y = 11.2x-20.2 Eller y = (5e ^ (3/2)) / 2x-2e ^ (3/2) y = e ^ (3/2) ((5x) / 2-2) Vi har: f (x) = (x ^ 2e ^ x) ^ (1/2) f '(x) = (x ^ 2e ^ x) ^ (- 1/2) / 2 * d / dx [x ^ 2e ^ x] f '(x) = (x ^ 2e ^ x) ^ (- 1/2) / 2 * (2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) f' (x) = ((2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) (x ^ 2e ^ x) ^ (- 1/2)) / 2f '(x) = (2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) / (2 (x ^ 2e ^ x) ^ 2)) = (2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) / (2sqrt (x ^ 2e ^ x)) f '(3) = (2 (3) e ^ 3 + 3 ^ 2e ^ 3) / (2sqrt (3e2e ^ 3)) = (5e ^ (3/2)) / 2 ~~ 11,2 y = mx + cf (3) = sqrt (9e ^ 3) = 3e ^ (3/2) ~~ 13,4 13,4 = 11,2 (3) + cc = 13,4-11,2 (3) = - 20,2 y = 11,2x-20,2 Eller y = ( Les mer »

F (x) = (5e ^ x + sec ^ 2x) (x ^ 2-2x) + (5e ^ x + tanx) (2x-2) For f (x) = (5e ^ x + tanx) ^ 2-2x), finner vi f '(x) ved å gjøre: f' (x) = d / dx [5e ^ x + tanx] (x ^ 2-2x) + (5e ^ x + tanx) d / dx [x ^ 2-2x] f '(x) = (5e ^ x + sec ^ 2x) (x ^ 2-2x) + (5e ^ x + tanx) (2x-2) Les mer »

F (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} La oss se på noen detaljer. F (x) = arctanx f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} Husk at den geometriske kraftserien 1 / {1-x} = sum_ { n = 0} ^ infty x ^ n ved å erstatte x ved -x ^ 2, Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ (n = 0) ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} Så, f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} Ved å integrere, f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx ved å sette integraletegnet i summen, = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ nx ^ {2n} dx ved Power Rule = sum_ {n Les mer »

Lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 Vi søker: L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / ^ 2) Både telleren og2nevneren rarr 0 som x rarr 0. Derfor er grensen L (hvis den eksisterer) av ubestemt form 0/0, og derfor kan vi anvende L'Hôpital's regel for å få: L = lim_ (xrarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) Nå bruker du grunnleggende teorem av kalkulatoren: d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) Og d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) Og så: L = lim_ Les mer »

:. F '(x) = (sqrtsinx) (cosx). F (x) = int_0 ^ sinx sqrttdt fordi, intsqrdtdt = intt ^ (1/2) dt = t ^ (1/2 + 1) / (1/2 + 1) = 2/3t ^ (3/2) + c,:. F (x) = [2 / 3t ^ (3/2)] _ 0 ^ sinx:. F (x) = 2 / 3sin ^ (3/2) x:. F '(x) = 2/3 [{(sinx)} ^ (3/2)]' Ved bruk av kjederegelen, F '(x) = 2/3 [3/2 (sinx) 1)] d / dx (sinx) = (sinx) ^ (1/2) (cosx):. F '(x) = (sqrtsinx) (cosx). Nyt matematikk.! Les mer »

12 Vi kan utvide kuben: (2 + h) ^ 3 = 8 + 12h + 6h ^ 2 + h ^ 3 Plugger dette inn, lim_ (hrightarrow 0) (8 + 12h + 6h ^ 2 + h ^ 3-8) / h = lim_ (hrightarrow 0) (12h + 6h ^ 2 + h ^ 3) / h = lim_ (hrightarrow 0) (12 + 6h + h2 2) = 12. Les mer »

Frac {1} {2} Grensen presenterer en udefinert form 0/0. I dette tilfellet kan du bruke de l'sykehusetningen som sier lim frac {f (x)} {g (x)} = lim frac {f '(x)} {g' derivat av telleren er frac {1} {2sqrt (1 + h)} Mens derivaten av nevneren er ganske enkelt 1. Så, lim_ {x til 0} frac {f '(x)} {g' (x)} = lim_ {x til 0} frac { frac {1} {2sqrt (1 + h)}} {1} = lim_ {x til 0} frac {1} {2sqrt 1 + h)} Og dermed bare frac {1} {2sqrt (1)} = frac {1} {2} Les mer »

Begynn med å fakturere telleren: = lim_ (x-> 2) (((x + 3) (x-2)) / (x-2)) Vi kan se at termen (x - 2) vil avbryte. Derfor er denne grensen like: = lim_ (x-> 2) (x + 3) Det bør nå være enkelt å se hva grensen vurderer til: = 5 La oss se på en graf av hvordan denne funksjonen vil se ut , for å se om svaret vårt er enig: "Hullet" ved x = 2 skyldes (x - 2) begrepet i nevnen. Når x = 2 blir denne termen 0, og en divisjon med null forekommer, noe som resulterer i at funksjonen er udefinert ved x = 2. Funksjonen er imidlertid veldefinert overalt, selv når den blir Les mer »

= 3/5 Forklaring, bruk av grenser Algebraisk, = lim_ (x -> - 4) (x ^ 2 + 5x + 4) / (x ^ 2 + 3x-4), hvis vi plugger x = -4, får vi 0/0 form = lim_ (x -> - 4) (x ^ 2 + 4x + x + 4) / (x ^ 2 + 4x-x-4) = lim_ (x -> 4) 4 (x + 4)) (x (x + 4) -1 (x + 4)) = lim_ (x -> - 4) x (x-1)) = lim_ (x -> - 4) (x + 1)) / ((x-1)) = (- 3) / - 5 = 3/5 Les mer »

Første faktor nevner ... (x ^ 3-64) / ((x-4) (x-4)) Nå faktor telleren ... ((x-4) (x ^ 2 + 4x + 16)) / (x-4) (x-4)) Del teller og nevner ved x-4 ... (x ^ 2 + 4x + 16) / (x-4) Erstatt alle x-er med grensen som nærmer seg ... (4) ^ 2 + 4 (4) +16) / ((4) -4) Kombiner termer ... 48/0 Grensen nærmer seg uendelig siden divisjon med 0 er udefinert, men divisjon med 0 nærmer seg også evighet. Les mer »

Det er avtagende. Begynn med å avlede funksjonen f, som avledningsfunksjonen, f 'beskriver frekvensen av forandring av f. f (x) = - 4x ^ 3 + 4x ^ 2 + 2x-1 f '(x) = - 12x ^ 2 + 8x + 2 Plugg deretter inn x = 2 i funksjonen. f '(2) = - 30 Derfor, da verdien av derivatet er negativ, er den øyeblikkelige hastigheten av endring på dette punktet er negativ - så funksjonen til f er avtagende i dette tilfellet. Les mer »

F (x) = (1 / (ln (x + 4) / (ln (x ^ 2 + 4)))) ((1) / ((x + 4))) 2 + 4) (ln (x ^ 2 + 4)) - (2x ^ 2 + 4x)) / ((x ^ 2 + 4) (ln (x ^ 2 + 4))) f '(x) = (1 / (ln ((x + 4) / (ln (x ^ 2 + 4))))) (1 / ((x + 4) / (ln (x ^ 2 + 4)))). (( (1) (ln (x ^ 2 + 4)) - (x + 4) (1) / ((x ^ 2 + 4)) (2 x)) / ((ln (x ^ 2 + 4))) ^ 2) f '(x) = (1 / (ln ((x + 4) / (ln (x ^ 2 + 4)))) (ln (x ^ 2 + 4) / ((x + 4)) ) ((ln (x ^ 2 + 4) - (2x ^ 2 + 4x) / ((x ^ 2 + 4))) / ((ln (x ^ 2 + 4))) 2) f ' x) = (1 / (ln ((x + 4) / (ln (x ^ 2 + 4)))) (avbryt (ln (x ^ 2 + 4)) / ((x + 4))). (((x ^ 2 + 4) (ln (x ^ 2 + 4)) - (2x ^ 2 + 4x)) / ((x ^ 2 + 4) (ln (x Les mer »

I tilfelle du mente "test konvergensen av serien: sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((2n + 1)!)" Svaret er: det farger (blå) "konvergerer" For å finne ut, vi kan bruke forholdstesten.Det vil si at hvis "U" _ "n" er n ^ "t" -sekvensen i denne serien. Da viser vi at lim_ (nrarr + oo) abs ("U" _ ("n" +1) / "U "_n) <1 betyr det at serien konvergerer På den annen side, hvis lim_ (nrarr + oo) abs ((" U "_ (" n "+1)) /" U "_n)> 1 betyr det at serien divergerer I vårt tilfelle "U" _n = 1 / ((2n + Les mer »

Ln (abs (x / (x + 1))) + C Første vi faktor ut 2: int1 / (x ^ 2 + x) dx Derefter faktoriser nevneren: int1 / (x (x + 1)) dx Vi må del dette inn i delfraksjoner: 1 = A (x + 1) + Bx Ved hjelp av x = 0 får vi: A = 1 Da bruker vi x = -1 oss: 1 = -B Med dette får vi: int1 / x-1 / (x + 1) dx int1 / xdx-int / (x + 1) dx ln (abs (x)) - ln (abs (x + 1 _) + c ln C Les mer »

En vertikal asymptote er en vertikal linje som forekommer ved x = c, hvor c er noe reelt tall, hvis grensen for funksjonen f (x) nærmer seg + -oo som x-> c fra venstre eller høyre (eller fra begge) . For en grundigere forklaring av vertikale asymptoter, gå her: http://socratic.org/questions/what-is-a-vertical-asymptote-in-calculus? Les mer »

"Se forklaring" a = {dv} / dt => v = int a (t) dt = 16 t ^ 3 + t ^ 2 + 6 t + C v (0) = v_0 = -3 => C = -3 => v = 16 t ^ 3 + t ^ 2 + 6 t - 3 v = {ds} / dt "(v = hastighet) => s = int v (t) dt = 4 t ^ 4 + t ^ 3 / 3 + 3 t ^ 2 - 3 t + C s (0) = s_0 = 1 => C = 1 => s (t) = 4 t ^ 4 + t ^ 3/3 + 3 t ^ 2 - 3 t + 1 Les mer »

Derivatet er 2Cos (x) - (1 / Cos ^ 2 (x)) - se nedenfor for hvordan du gjør det. Hvis f (x) = 2Sinx-Tan (x) For sinusdelen av funksjonen er derivatet rett og slett: 2Cos (x). Tan (x) er imidlertid litt vanskeligere. Du må bruke kvotientregelen. Husk at Tan (x) = (Sin (x) / Cos (x)) Derfor kan vi bruke kvotientregelen iff (x) = (Sin (x) / Cos (x)) Så f '(x) = ( Cos ^ 2 (x) - (- Sin ^ 2 (x))) / (Cos ^ 2 x)) Sin ^ 2 (x) + Cos ^ 2 (x) = 1 f '(x) = 1 / (Cos ^ 2 (x)) Så komplett funksjon blir f '(x) = 2Cos (x) - (1 / Cos ^ 2 (x)) Eller f' (x) = 2Cos (x) -Sec ^ 2 x) Les mer »

I de fleste tilfeller er det to typer funksjoner som har horisontale asymptoter. Funksjoner i kvotientform hvis navner er større enn tellere når x er stor positiv eller stor negativ. eks.) f (x) = {2x + 3} / {x ^ 2 + 1} (Som du kan se, telleren er en lineær funksjon vokser mye tregere enn nevneren, som er en kvadratisk funksjon.) lim_ {x til pm infty} {2x + 3} / {x ^ 2 + 1} ved å dele telleren og nevneren med x ^ 2, = lim_ {x til pm infty} {2 / x + 3 / x ^ 2} / { 1 + 1 / x ^ 2} = {0 + 0} / {1 + 0} = 0, noe som betyr at y = 0 er en horisontal asymptote av f. Funksjon i kvotientform hvis tellere og denomi Les mer »

Derivatet er 3sqrt (x) / 2 - cot (x) csc (x) Derivatet av den oppgitte funksjonen er summen av derivatene av x ^ (3/2) og csc (x). Merk at sqrt (x) ^ 3 = x ^ (3/2) Ved Power Rule er derivatet av den første: 3/2 xx x ^ (3/2 -1) = 3sqrt (x) / 2 Derivatet av csx (x) er -cot (x) csc (x) Så derivatet av den oppgitte funksjonen er 3sqrt (x) / 2 - cot (x) csc (x). Les mer »

Ikke ^ (4t ^ 2t) dt = (e ^ (4x ^ 2-x)) / (8x-1) -e ^ (33) / 23 Vær f (x) = e ^ (4t ^ 2-t ) din funksjon. For å integrere denne funksjonen trenger du sin primitive F (x) F (x) = (e ^ (4t ^ 2-t)) / (8t-1) + k med k en konstant. Integrasjonen av e ^ (4t ^ 2-t) på [3; x] beregnes som følger: ikke ^ (4t ^ 2-t) dt = F (x) -F (3) = (e ^ 2 x)) / (8x-1) + k - ((e ^ (4cdot3 ^ 2-3)) / (8cdot3-1) + k) = (e ^ (4x ^ 2x)) / -1) -e ^ (33) / 23 Les mer »

Extrema for y = sin (x) cos (x) er x = pi / 4 + npi / 2 med n et relativt heltall Vær f (x) funksjonen som representerer variasjonen av y med repsect til x. Vær f '(x) derivatet av f (x). f '(a) er hellingen til f (x) kurven ved x = et punkt. Når hellingen er positiv, øker kurven. Når skråningen er negativ, minker kurven. Når hellingen er null, forblir kurven til samme verdi. Når kurven når en ekstrem, vil den slutte å øke / avta og begynne å avta / øke. Med andre ord vil skråningen gå fra positiv til negativ - eller negativ til positiv - fo Les mer »

4ln (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C Så vi skriver først dette: (6x ^ 2 + 13x + 6) / +2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 Ved tillegg får vi: (6x ^ 2 + 13x + 6 ) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + (B (x + 1) + C) / (x + 1) ^ 2 = (A (x + 1 ) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C)) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) 6x ^ 2 + 13x + 6 = A (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) Bruke x = -2 gir oss: 6 (-2) ^ 2 + 13 (-2) + 6 = A (-1) ^ 2 A = 4 xx-2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) Deretter gir vi x = -1 oss: 6 (-1) ^ 2 + 13 (-1) + 6 = CC = -1 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 ( Les mer »