Precalculus

En egenvektor er en vektor som forvandles av en lineær operatør i annen vektor i samme retning. Egenvalue (varenummer er ikke brukt) er proporsjonsfaktoren mellom den opprinnelige egenvektoren og den transformerte. Anta at A er en lineær transformasjon som vi kan definere i et gitt delrom. Vi sier at vec v er en egenvektor av den lineære transformasjonen hvis og bare hvis det finnes en lambda skalar slik at: En cdot vec v = lambda cdot vec v Til denne skalal lambda vil vi kalle det egenverdien knyttet til egenvektor vec v. Les mer »

Grafen av kvadratikk av den formen er alltid en parabola. Det er noen ting vi kan fortelle bare fra ligningen din: 1) Den ledende koeffisienten er 1, noe som er positivt, så din parabol vil åpne UP. 2) siden parabolen åpner seg, er "endegang" begge ender opp. 3) siden parabolen åpner seg, vil grafen ha et minimum ved sin toppunkt. La oss nå finne toppunktet. Det er flere måter å gjøre dette på, inkludert bruk av formelen -b / (2a) for x-verdien. (- (- 4)) / (2 * 1) = 4/2 = 2 Erstatter x = 2 og finn y-verdien: (2) ^ 2-4 (2) = 4 - 8 = -4 Vertexet er funnet på (2, -4 Les mer »

Mange ting i ulike områder av matematikk. Her er noen eksempler: Sannsynlighet (kombinatorikk) Hvis en rettferdig mynt kastes 10 ganger, hva er sannsynligheten for nøyaktig 6 hoder? Svar: (10!) / (6! 4! 2 ^ 10) Serie for synd, cos og eksponensielle funksjoner synd (x) = x - x ^ 3 / (3!) + X ^ 5 / (5!) -X ^ 7 / (7!) + ... cos (x) = 1 - x ^ 2 / (2!) + X ^ 4 / (4!) - x ^ 6 / (6!) + ... e ^ x = 1 + x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + ... Taylor-serien f (x) = f (a) / !) + (f '(a)) / (1!) (Xa) + (f' '(a)) / (2!) (Xa) ^ 2 + (f' '' (a)) / (3- !) (xa) ^ 3 + ... Binomial utvidelse (a + Les mer »

Se forklaringen nedenfor. En grense "ved uendelig" av en funksjon er: et tall som f (x) (eller y) kommer nær som x øker uten bundet. En grense ved uendelig er en grense som den uavhengige variabelen øker uten bundet. Definisjonen er: lim_ (xrarroo) f (x) = L hvis og bare hvis: for alle epsiloner som er positive, er det et tall m slik at: hvis x> M, så abs (f (x) -L) < epsilon. For eksempel når x øker uten bundet, blir 1 / x nærmere og nærmere 0. Eksempel 2: Når x øker uten bundet, kommer 7 / x nærmere 0 Som xrarroo (som x øker uten bundet), (3x-2) Les mer »

Poeng på noen funksjon der en lokal maksimums- eller minimumsverdi oppstår. For en kontinuerlig funksjon over hele domenet eksisterer disse punktene hvor funksjonens helling = 0 (det vil si at den er første derivat er lik 0). Overvei noen kontinuerlig funksjon f (x) Hellingen av f (x) er lik null hvor f '(x) = 0 på et tidspunkt (a, f (a)). Da vil f (a) være en lokal ekstremeverdi (maksimalt eller minimum) av f (x) N.B. Absolutt ekstrem er en delmengde av lokal ekstrem. Dette er poengene hvor f (a) er ekstremen av f (x) over hele domenet. Les mer »

En rot av enhet er et komplekst tall som når det blir oppdratt til noe positivt heltall, vil returnere 1. Det er et komplekst tall z som tilfredsstiller følgende ligning: z ^ n = 1 hvor n i NN, det vil si at n er en naturlig Nummer. Et naturlig tall er et positivt heltall: (n = 1, 2, 3, ...). Dette er noen ganger referert til som et telle nummer og notasjonen for det er NN. For noen n kan det være flere z-verdier som tilfredsstiller den ligningen, og disse verdiene omfatter enhetens røtter for den n. Når n = 1 Roter av enhet: 1 Når n = 2 Roter av enhet: -1, 1 Når n = 3 Roter av enhet = 1, Les mer »

Sannsynligvis er en av de vanligste feilene å glemme å sette parentesene på noen funksjoner. Hvis jeg for eksempel skulle gå til grafen y = 5 ^ (2x) som angitt i et problem, kan noen elever sette i kalkulatoren 5 ^ 2x. Kalkulatoren leser imidlertid at den er 5 ^ 2x og ikke som gitt. Så det er viktig å sette parenteser inn og skrive 5 ^ (2x). For logistiske funksjoner kan en feil innebære å bruke naturlig log vs. log feil, som: y = ln (2x), som er e ^ y = 2x; mot y = logg (2x), som er for 10 ^ y = 2x. Eksponentkonverteringer til logistiske funksjoner kan også være vanskelig. Les mer »

(1) f (x) = x ^ 2, (2) g (x) = sin (x) (3) h (x) = 3x + 1 En funksjon er kontinuerlig, intuitiv, hvis den kan tegnes ) uten å måtte løfte blyanten (eller pennen) fra papiret. Det nærmer seg et hvilket som helst punkt x, i domenet til funksjonen fra venstre, dvs. x-epsilon, som epsilon -> 0, gir samme verdi som nærmer seg samme punkt fra høyre, dvs. x + epsilon, som ε 0. Dette er tilfelle med hver av de oppførte funksjonene. Det ville ikke være tilfelle for funksjonen d (x) definert av: d (x) = 1, hvis x> = 0 og d (x) = -1, hvis x <0. Det er derfor en diskontinuitet ved 0, s Les mer »

Her er tre viktige eksempler ... Geometrisk serie Hvis abs (r) <1 er summen av den geometriske serien a_n = r ^ n a_0 konvergent: sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) Eksponentiell funksjon Serien som definerer e ^ x er konvergent for en hvilken som helst verdi av x: e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) For å bevise dette, for en gitt x, la N være et heltall som er større enn abs (x). Deretter konverger sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) Siden det er en endelig sum og sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) Konvergerer siden absoluttverdien av forholdet mellom suksessive termer er mindre enn abs (x) / (N + Les mer »

Endelig oppførsel av de mest grunnleggende funksjonene er følgende: Konstanter En konstant er en funksjon som antar den samme verdien for hver x, så hvis f (x) = c for hver x, så vil selvsagt også grensen som x nærme seg pm infty vil fortsatt være c. Polynomier Odd grad: polynomier av ulik grad "respekterer" evigheten mot hvilken x nærmer seg. Så hvis f (x) er et oddetall-polynom, har du det lim_ {x to-infty} f (x) = - infty og lim_ {x til + infty} f (x) = + infty ; Selv grad: polynomene av like grad har en tendens til å + infty uansett hvilken retning x nærm Les mer »

Eksempel 1: Å øke til en jevn kraft Løs x = rot (4) (5x ^ 2-4). Å øke begge sider til 4 ^ (th) gir x ^ 4 = 5x ^ 2-4. Dette krever, x ^ 4-5x ^ 2 + 4 = 0. Factoring gir (x ^ 2-1) (x ^ 2-4) = 0. Så vi trenger (x + 1) (x-1) (x + 2) (x-2) = 0. Løsningssettet av den siste ligningen er {-1, 1, -2, 2}. Ved å sjekke disse avsløres at -1 og -2 ikke er løsninger på den opprinnelige ligningen. Husk at rot (4) x betyr den ikke-negative fjerde roten.) Eksempel 2 Multiplikasjon med null Hvis du løser (x + 3) / x = 5 / x ved kryssmultiplikasjon, får du x ^ 2 + 3x = 5x som f& Les mer »

For å komponere en funksjon er å legge inn en funksjon i den andre for å danne en annen funksjon. Her er noen eksempler. Eksempel 1: Hvis f (x) = 2x + 5 og g (x) = 4x - 1, bestem f (g (x)) Dette vil bety at du legger inn g (x) for x inni f (x). f (g (x)) = 2 (4x-1) + 5 = 8x-2 + 5 = 8x + 3 Eksempel 2: Hvis f (x) = 3x ^ 2 + 12 + 12x og g (x) = sqrt 3x), bestem g (f (x)) og angi domenet Sett f (x) til g (x). g (f (x)) = sqrt (3x3 + 2x12)) g (f (x)) = sqrt (9x ^ 2 + 36x + 36) g (f (x)) = sqrt 3x + 6) ^ 2) g (f (x)) = | 3x + 6 | Domenet til f (x) er x i RR. Domenet til g (x) er x> 0. Dermed er domenet til g (f Les mer »

Eksempel 1: f (x) = x ^ 2 / {(x + 2) (x-3)} Vertikale asymptoter: x = -2 og x = 3 Horisontal asymptote: y = 1 Skrå asymptote: Ingen Eksempel 2: g x) = e ^ x Vertikal asymptote: Ingen Horisontal asymptote: y = 0 Slant Asymptote: Ingen Eksempel 3: h (x) = x + 1 / x Vertikal asymptote: x = 0 Horisontal asymptote: Ingen Slant Asymptote: y = x I håper at dette var nyttig. Les mer »

Her er et par eksempler ... Her er en prøve animasjon av lang dividering x ^ 3 + x ^ 2-x-1 ved x-1 (som deler nøyaktig). Skriv utbytte under linjen og divisoren til venstre. Hver er skrevet i synkende rekkefølge av x. Hvis en makt på x mangler, ta den med en 0-koeffisient. Hvis du for eksempel delte med x ^ 2-1, ville du uttrykke divisoren som x ^ 2 + 0x-1. Velg kvotientens første sikt for å få ledende ord i samsvar. I vårt eksempel velger vi x ^ 2, siden (x-1) * x ^ 2 = x ^ 3-x ^ 2 samsvarer med den ledende x ^ 3 termen av utbyttet. Skriv produktet av denne termen og divisoren under Les mer »

Dette er direkte skalar multiplikasjon og deretter subtraksjon av matriser. Skalær multiplikasjon av matriser betyr ganske enkelt at hvert element i matrisen multipliseres med konstanten. Så, vil hvert element i A multipliseres med 2. Deretter utføres matrix subtraksjon (og tillegg) av element ved element subtraksjon. Så, i dette tilfellet, 2 (-8) = -16. Deretter trekker du 1 i øverste høyre hjørne av B for å gi -16 - 1 = -17. Så, a = 17 Les mer »

Noen typer områder: skytebane, komfyr + ovn, rekkevidde av et våpen, (som verb) for å bevege seg rundt, hjemme på rekkevidde, osv. Nei, men seriøst er rekkevidden enten settet av y-verdier av en funksjon eller forskjellen mellom de laveste og høyeste verdiene av et sett med tall. For ligningen y = 3x-2, er rekkevidden alle ekte tall fordi noen verdi av x kan innføres for å gi noe ekte tall y (y = RR). For ligningen y = sqrt (x-3) er rekkevidden alle ekte tall større eller lik 3 (y = RR> = 3). For ligningen y = (x-1) / (x ^ 2-1) er rekkevidden alle ekte tall som ikke er lik 1 Les mer »

(2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 Med Pascals trekant er det enkelt å finne hver binomial ekspansjon: Hvert uttrykk i denne trekanten er resultatet av summen av to termer på øverste linje. (eksempel i rødt) 1 1. 1 farge (blå) (1. 2. 1) 1. Farge (rød) 3. farge (rød) 3. 1 1. 4. farge (rød) 6. 4. 1 ... Mer, hver linje har informasjonen om en binomial utvidelse: Den første linjen, for kraften 0 Den andre, for kraften 1 Den tredje, for kraften 2 ... For eksempel: (a + b ) ^ 2 vi vil bruke den tredje linjen i blått etter denne utvidelsen: (a + b) ^ 2 = farge (blå) 1 Les mer »

Den pendler ikke, eller er ikke alltid definert. Produktet av to firkantede matriser (en firkantet matrise er en matrise som har samme antall rader og kolonner) AB er ikke alltid lik BA. Prøv det med A = ((0,1), (0,0)) og B = ((0,0), (0,1)). For å kunne beregne produktet av to rektangulære matriser C og D, trenger du C for å ha samme antall kolonner som antall rader med D. Hvis du vil ha DC, er det samme problem med antall kolonner av D og antall linjer av C. Les mer »

X ^ 2 / (x-1) (x + 2)) = 1 / (3 (x-1)) - 4 / (3 (x + 2)) Vi må skrive disse i forhold til hver enkelt faktor. x ^ 2 / (x-1) (x + 2)) = A / (x-1) + B / (x + 2) x ^ 2 = A (x + 2) + B (x-1) Putting i x = -2: (-2) ^ 2 = A (-2 + 2) + B (-2-1) 4 = -3B B = -4 / 3 Innføring i x = 1: 1 ^ 2 = A 1 + 2) + B (1-1) 1 = 3A A = 1/3 x ^ 2 / (x-1) (x + 2)) = (1/3) / (x-1) + (- 4/3) / (x + 2) farge (hvit) (x ^ 2 / (x-1) (x + 2))) = 1 / (3 (x-1)) - 4 / 2)) Les mer »

"Se forklaring" jeg "er et tall med egenskapen" i ^ 2 = -1. "Så hvis du fyller inn" 5i ", får du" (5 i) ^ 2 + 23 = 25 i ^ 2 + 23 = 25 * -1 + 23 = -2! = 6 "Så" 5 jeg "er ikke en løsning." Msgstr "Legg til og multiplisere med" jeg "går akkurat som med normale ekte tall, du trenger bare å huske at" i ^ 2 = -1. "En merkelig kraft av" jeg "kan ikke konverteres til et reelt tall:" "(5 i) ^ 3 = 125 * i ^ 3 = 125 * i ^ 2 * i = 125 * -1 * i = -125 i. "Så er den imaginære enheten" Les mer »

Uendelig csc x = 1 / sin x 0,5 csc x = 0,5 / sin x et hvilket som helst tall divideres med 0 gir et udefinert resultat, så 0,5 over 0 er alltid udefinert. Funksjonen g (x) vil bli undefined ved noen x-verdier for hvilke sin x = 0. fra 0 ^ til 360 ^, x-verdiene der sin x = 0 er 0 ^, 180 ^ og 360 ^ @. Alternativt, i radianer fra 0 til 2pi, er x-verdiene der sin x = 0 er 0, pi og 2pi. siden grafen for y = sin x er periodisk, gjentar de verdier for hvilke synd x = 0 gjentar hver 180 ^, eller pi radianer. Derfor er poengene for hvilke 1 / sin x og derfor 0,5 / sin x ikke definert, 0 ^ @, 180 ^ og 360 ^ (0, pi og 2pi) i det Les mer »

Ved å skrive litt, g (x) = sec2x = 1 / {cos2x}. Det vil være vertikale asymptoter når nevneren blir 0, og cos2x blir null når 2x = pi / 2 + npi = {2n + 1} / 2pi for hele heltall n, så ved å dividere med 2, Rightarrow x = {2n + 1 } / 4pi Derfor er de vertikale asymptotene x = {2n + 1} / 4pi for hele heltall n. Jeg håper at dette var nyttig. Les mer »

Det er en ellipse. Ovennevnte ligning kan enkelt omdannes til ellipseformen (xh) ^ 2 / a ^ 2 + (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1 som koeffisienter av x ^ 2 ogy ^ 2 begge er positive) hvor (h, k) er sentrum av ellipse og akse er 2a og 2b, med større en som hovedakse en annen mindre akse. Vi kan også finne vertices ved å legge til + -a til h (holde ordinat samme) og + -b til k (holde abscisse samme). Vi kan skrive likningen 16x ^ 2 + 25y ^ 2-18x-20y + 8 = 0 som 16 (x ^ 2-18 / 16x) +25 (y ^ 2-20 / 25y) = - 8 eller 16 (x ^ 2-2 * 9 / 16x + (9/16) ^ 2) 25 (y ^ 2-2 * 2 / 5y + (2/5) ^ 2) = - 8 + 16 (9/16) ^ 2 + 25 ( 2/5) ^ 2 ell Les mer »

Dette er en sirkel. Fullfør rutene for å finne: 0 = x ^ 2 + y ^ 2-10x-2y + 10 = (x ^ 2-10x + 25) + (y ^ 2-2y + 1) -16 = (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2-4 ^ 2 Legg 4 ^ 2 i begge ender og transponere for å få: (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 4 ^ 2 som er i form: (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2 ekvationen til en sirkel, senter (h, k) = (5, 1) og radius r = 4 graf {(x ^ 2 + y ^ 2-10x -2y + 10) (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2-0.01) = 0 [-6,59, 13,41, -3,68, 6,32]} Les mer »

(3, 3) Sammen med punktet (5, 1) er disse punktene en firkant, slik at senterets senter ligger midt mellom diagonalene mellom 1, 1 og 5, 5, det vil si: (1 + 5) / 2, (1 + 5) / 2) = (3,3) Radien er avstanden mellom (1, 1) og (3, 3), som er: sqrt 3-1) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (8) Så sirkulasjonsligningen kan skrives: (x-3) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = 8 graf { (x-3) ^ 2 + (y-3) ^ 2-8) ((x-3) ^ 2 + (y-3) ^ 2-0,01) ((x-1) ^ 2 + (y-1 ) ^ 2-0,01) ((x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2-0,01) ((x-1) ^ 2 + (y-5) ^ 2-0,01) ((x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2-0,01) ((x-3) ^ 100 + (y-3) ^ 100-2 ^ 100) (xy) (sqrt (17- (x + y-6) ^ 2) / sqrt (17- (x + y-6) ^ 2)) = 0 [-5,89, Les mer »

Sirkelen har et senter i C = (4,5) og radius r = 7 For å finne koordinatene til senteret og radiusen til en sirkel, må vi omdanne dens ligning til form av: (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = r ^ 2 I dette eksemplet kan vi gjøre dette ved å gjøre: x ^ 2 + y ^ 2-8x-10y-8 = 0 x ^ 2-8x + 16 + y ^ 2-10y + 25-8- 16-25 = 0 (x-4) ^ 2 + (y-5) ^ 2-49 = 0 Endelig: (x-4) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 49 Fra denne ligningen får vi senteret og radius. Les mer »

Hva et kult spørsmål! Planlegger du på wallpapering en gigantisk basketball? Vel, formelen er SA = 4pir ^ 2 bare hvis du vil beregne det! Wikipedia gir deg formelen, samt tilleggsinformasjon. Du kan til og med bruke denne formelen til å beregne hvor mye overflaten av månen er! Sørg for å følge rekkefølgen av operasjonen mens du går: Først, firkant din radius, og multipliser den med 4pi ved hjelp av en kalkulator med en lagret omtrentlig verdi for pi. Rund på riktig måte, og merk deretter svaret ditt i kvadrat-enheter, avhengig av hvilken lengdeenhet du bruker Les mer »

| synd (x) | <= 1, "og" arctan (x) / x> = 0 "Som" | synd (x) | <= 1 "og" arctan (x) / x> = 0, "vi har" | (sin (1 / sqrt (x)) arctan (x)) / (x sqrt (ln (1 + x))) | <= | arctan (x) / (x sqrt (ln (1 + x))) = arctan (x) / (x sqrt (ln (1 + x))) "(både arctan (x) / x og" sqrt (...)> = 0 ")" = arctan x) sqrt (x ^ -1) x sqrt (ln (1 + x))) = arctan (x) / (sqrt (x) x sqrt (x ^ -1 ln (1 + x))) Les mer »

Svaret er: F_ (1,2) (0, + - sqrt15). Standardekvivalenten til en ellipse er: x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1. Denne ellipsen er med foci (F_ (1,2)) på y-aksen siden a <b. Så x_ (F_ (1,2)) = 0 Ordinatene er: c = + - sqrt (b ^ 2-a ^ 2) = + - sqrt (64-49) = + - sqrt15. Så: F_ (1,2) (0, + - sqrt15). Les mer »

Heltallverdiene til x er 1,3,0,4 Lar omskriv dette på følgende måte x / (x-2) = [(x-2) +2] / (x-2) = 1 + 2 / (x-2 ) For at 2 / (x-2) skal være heltall, må x-2 være en av delene av 2 som er + -1 og + -2 Hence x-2 = -1 => x = 1 x-2 = 1 => x = 3 x-2 = -2 => x = 0 x-2 = 2 => x = 4 Derfor er heltalverdiene av x 1,3,0,4 Les mer »

Hvis spørsmålet er: "I hvilket tilfelle avskjærer funksjonen y-aksen?", Svarer svaret på ingen punkter. Dette skyldes at hvis dette punktet eksisterer, må x-koordinatet være 0, men det er umulig å gi denne verdien til x fordi 0 gjør fraksjonen en usikkerhet (det er umulig å dele for 0). Hvis spørsmålet er: "I hvilke punkter avskjærer funksjonen x-aksen?", Er svaret: i alle de punktene hvis y-koordinat er 0. Så: (x ^ 2-49) / (7x ^ 4) = 0rArrx ^ 2 = 49rArrx = + - 7. Poengene er: (-7,0) og (7,0). Les mer »

X = 7 og x = (- 7 + -7sqrt (3) i) / 2 Forutsatt at du mener komplekse røttene av ligningen: x ^ 3 = 343 Vi kan finne den ene virkelige roten ved å ta den tredje roten til begge sider: root (3) (x ^ 3) = root (3) (343) x = 7 Vi vet at (x-7) må være en faktor siden x = 7 er en rot. Hvis vi bringer alt til en side, kan vi faktor ved å bruke polynomial lang divisjon: x ^ 3-343 = 0 (x-7) (x ^ 2 + 7x + 49) = 0 Vi vet når (x-7) er lik null, men vi kan finne de resterende røttene ved å løse for når kvadratisk faktor er null. Dette kan gjøres med kvadratisk formel: x ^ 2 + 7x + Les mer »

Utvid firkantene, erstatt y = rsin (theta) og x = rcos (theta), og løse deretter for r. Gitt: (x - 1) ^ 2 - (y + 5) ^ 2 = -24 Her er en graf av ligningen ovenfor: Konverter til polære koordinater. Utvid firkantene: x ^ 2 -2x + 1 - (y ^ 2 + 10y + 25) = -24 Omgruppering ved kraft: x ^ 2 - y ^ 2 -2x - 10y + 1 - 25 = -24 Kombiner de konstante termer : x ^ 2 - y ^ 2 -2x - 10y = 0 Erstatter rcos (theta) for x og rsin (theta) for y: (rcos (theta)) 2 - (rsin (theta)) 2-2 (theta)) - 10 (rsin (theta)) = 0 Lar oss flytte faktorene r utenfor (): (cos ^ 2 (theta) - sin ^ 2 (theta)) r ^ 2 - (2cos (theta) + 10sin (theta)) r = 0 Les mer »

-4, 2 og 3. P (2) = 0. Så, n-2 er en faktor. Nå, P (n) = (n-2) (n ^ 2 + kn-12)). Sammenligning av koeffisienten av n ^ 2 = k-2 med -3, k = -1. Så, P (n) = (n-2) (n ^ 2-n-12) = (4-2) (n + 4) (n-3). Og så er de andre to nullene -4 og 3.. Les mer »

De "mulige" integrale nullene er: + -1, + -2, + -4 Egentlig P (p) har ingen rasjonale nuller. Gitt: P (p) = p ^ 4-2p ^ 3-8p ^ 2 + 3p-4 Ved den rasjonelle røtteretningen er noen rasjonelle nuller av P (p) ekspressible i form p / q for heltall p, q med pa divisor av konstant termen -4 og qa divisor av koeffisienten 1 av ledende term. Det betyr at de eneste mulige rasjonale nuller (som også er heltall) er: + -1, + -2, + -4 I praksis finner vi at ingen av disse faktisk er nuller, så P (p) har ingen rasjonale nuller . Les mer »

De "mulige" integrale nullene er + -1, + -2, + -4 Ingen av disse arbeidene, så P (y) har ingen integrerte nuller. > P (y) = y ^ 4-5y ^ 3-7y ^ 2 + 21y + 4 Ved rationell rotteorem er noen rasjonelle nuller av P (x) ekspressible i form p / q for heltall p, q med pa divisor av konstant begrepet 4 og qa divisor av koeffisient 1 av ledende begrep. Det betyr at de eneste mulige rasjonale nuller er mulige heltall nuller: + -1, + -2, + -4 For å prøve hver av disse finner vi: P (1) = 1-5-7 + 21 + 4 = 14 P (-1) = 1 + 5-7-21 + 4 = -18 P (2) = 16-40-28 + 42 + 4 = -6P (-2) = 16 + 40-28-42 + 4 = -10 P (4) = 25 Les mer »

Mulige heltallrøtter som skal prøves, er pm 1, pm 3, pm 5, pm 15. La oss forestille oss at et annet heltall kan være en rot. Vi velger 2. Dette er feil. Vi er i ferd med å se hvorfor. Polynomet er z ^ 4 + 5z ^ 3 + 2z ^ 2 + 7z-15. Hvis z = 2 så er alle betingelsene enda fordi de er multipler av z, men da må den siste termen være jevn for å gjøre hele summen lik null ... og -15 er ikke engang. Så z = 2 mislykkes fordi delbarheten ikke trener. For å få delbarheten til å fungere, må en heltallrot for z være noe som deler jevnt i konstant sikt, som her e Les mer »

Diskriminanten av den kvadratiske formelen forteller deg om naturen av røttene ekvationen har. b ^ 2-4ac = 0, en reell løsning b ^ 2-4ac> 0, to virkelige løsninger b ^ 2-4ac <0, to imaginære løsninger Hvis diskriminant er et perfekt firkant, er røttene rasjonelle eller ellers hvis det ikke er et perfekt firkant, røttene er irrasjonelle. Les mer »

For å løse dette problemet kan vi bruke p / q metoden hvor p er konstanten og q er den ledende koeffisienten. Dette gir oss + -12 / 1 som gir oss mulige faktorer + -1, + -2, + -3, + -4, + -6 og + -12. Nå må vi bruke syntetisk divisjon for å dele kubisk funksjon. Det er lettere å starte med + -1 og deretter + -2 og så videre. Ved bruk av syntetisk divisjon må vi ha en gjenstand på 0 for utbyttet å være null. Ved å bruke syntetisk divisjon for å få vår ligning til en kvadratisk, så ved å fakturere kvadratisk, finner vi at røttene er 2, Les mer »

Se forklaring ... Et polynom i en variabel x er en sum av endelige mange termer, som hver for seg tar formen a_kx ^ k for noe konstant a_k og ikke-negativt heltall k. Så noen eksempler på typiske polynomer kan være: x ^ 2 + 3x-4 3x ^ 3-5 / 2x ^ 2 + 7 En polynomialfunksjon er en funksjon wholse-verdier er definert av et polynom. For eksempel: f (x) = x ^ 2 + 3x-4g (x) = 3x ^ 3-5 / 2x ^ 2 + 7 En null av et polynom f (x) er en verdi på x slik at f (x ) = 0. For eksempel er x = -4 en null på f (x) = x ^ 2 + 3x-4. En rasjonell null er et null som også er et rasjonelt tall, det vil si det er uttrykk Les mer »

X = -1 + -i "Kontroller verdien av" farge (blå) "diskriminant" "med" a = 1, b = 2, c = 2 Delta = b ^ 2-4ac = 4-8 = -4 " siden "Delta <0" har ligningen ingen reelle løsninger "" løsningen ved hjelp av "farge (blå)" kvadratisk formel "x = (- 2 + -sqrt (-4)) / 2 = (- 2 + -2i) / 2 rArrx = -1 + -i "er løsningene" Les mer »

Identitet: f (x) = x Firkant: f (x) = x ^ 2 Kube: f (x) = x ^ 3 Gjensidig: f (x) = 1 / x = x ^ (- 1) Firkantrot: f x) = sqrt (x) = x ^ (1/2) Eksponentiell: f (x) = e ^ x Logaritmisk: f (x) = ln (x) Logistisk: f (x) = 1 / (x) = Sine: f (x) = sin (x) Kosin: f (x) = cos (x) Absolutt verdi: f (x) = abs (x) Integer Trinn: f (x) = "int" (x) Les mer »

R <1 / e er betingelsen for konvergens av sum_ (n = 1) ^ over ^ ln (n) Jeg vil bare svare på delen om konvergensen, den første delen har blitt besvart i kommentarene. Vi kan bruke r ^ ln (n) = n ^ ln (r) for å omskrive summen summen (n = 1) ^ over ^ ln (n) i skjemaet sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {for} p = -ln (r) Serien til høyre er serien for den berømte Riemann Zeta-funksjonen. Det er velkjent at denne serien konvergerer når p> 1. Bruk av dette resultatet gir direkte -ln (r)> 1 betyr ln (r) <- 1 betyr r <e ^ -1 = 1 / e Resultatet av Rie Les mer »

Ulikheten er kvadratisk i form. Trinn 1: Vi krever null på den ene siden. x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 Trinn 2: Siden venstre side består av en konstant term, et middels uttrykk og et uttrykk hvis eksponent er nøyaktig det dobbelte som på mellomfristen, er denne ligningen kvadratisk "i form. " Vi enten faktor det som en kvadratisk, eller vi bruker den kvadratiske formel. I dette tilfellet kan vi faktorere. Akkurat som y ^ 2 + y - 6 = (y + 3) (y - 2), har vi nå x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = (x ^ 3 + 3) (x ^ 3-2). Vi behandler x ^ 3 som om det var en enkel variabel, y. Hvis det er mer nyttig, kan du erstat Les mer »

9x ^ 2 + 16y ^ 2 = 144 Del hver term med 144. (9x ^ 2) / 144 + (16y ^ 2) / 144 = 144/144 Forenkle (x ^ 2) / 16 + (y ^ 2) / 9 = 1 Hovedaksen er x-aksen fordi den største nevnte er under x ^ 2-termen. Koordinatene til punktene er som følger ... (+ -a, 0) (0, + - b) a ^ 2 = 16 -> a = 4 b ^ 2 = 4 -> b = 2 (+ -4, 0) (0, + - 2) Les mer »

Jeg tror det er noe galt med spørsmålet, se nedenfor. Utvidelsen av uttrykket gir frac {(x + 6) ^ 2} {4} = 1 derfor (x + 6) ^ 2 = 4 derfor x ^ 2 + 12x + 36 = 4 derfor x ^ 2 + 12x + 32 = 0 Dette er egentlig ikke ligningen til noe du kan grave, siden en graf representerer et forhold mellom x-verdiene og y-verdiene (eller generelt, forholdet mellom en uavhengig variabel og en avhengig). I dette tilfellet har vi bare en variabel, og ligningen er lik null. Det beste vi kan gjøre i dette tilfellet er å løse ligningen, dvs. å finne verdiene av x som tilfredsstiller ligningen. I dette tilfellet er l&# Les mer »

Poengene er (3,0), (-1,0), (1,3), (-1, -3) Foci er (1, sqrt5) og (1, -sqrt5) La oss omorganisere ligningen ved å fullføre firkanter 9x ^ 2-18x + 4y ^ 2 = 27 9 (x ^ 2-2x + 1) + 4y ^ 2 = 27 + 9 9 (x-1) ^ 2 + 4y ^ 2 = 36 Fordeling med 36 (x- 1) ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 (x-1) ^ 2/2 ^ 2 + y ^ 2/3 ^ 2 = 1 Dette er ligningen for en ellipse med en vertikal hovedakse Sammenligning av denne ligningen til (xh) ^ 2 / a ^ 2 + (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Senteret er = (h, k) = (1,0) Hjørnene er A = (h + a, k) = (3,0); A '= (h-a, k) = (- 1,0); B = (h.k + b) = (1,3); B '= (h, kb) = (1, -3) For å beregne foci trenger vi c = Les mer »

Det første forsøket på å gjøre er å prøve å faktorere den polinomien. For resten teorem må vi beregne f (h) for alle heltallstallene som deler 216. Hvis f (h) = 0 for et tall h, så er dette et null. Divisors er: + -1, + - 2, ... Jeg prøvde noen små av dem, det fungerte ikke, og den andre var for stor. Så denne polynomien kan ikke faktoriseres. Vi må prøve en annen måte! La oss prøve å studere funksjonen. Domenet er (-oo, + oo), grensene er: lim_ (xrarr + -oo) f (x) = + - oo og så er det ingen asymptoter av noe slag (skrå, ho Les mer »

Siden log_3 (13) = 1 / (log_13 (3)) har vi (log_3 (13)) (log_13 (x)) (log_x (y)) = (log_13 (x) / (log_13 (3))) (y)) Kvoten med en felles base på 13 følger forandringen av basisformel, slik at log_13 (x) / (log_13 (3)) = log_3 (x) og venstre side er lik (log_3 (x)) (log_x (y)) Siden log_3 (x) = 1 / (log_x (3)) tilsvarer venstre side log_x (y) / log_x (3) som er en baseendring for log_3 (y) Nå som vi vet at log_3 (y) = 2, konverterer vi til eksponentiell form, slik at y = 3 ^ 2 = 9. Les mer »

Du vil begynne med å dele hvert begrep med 4 for å ende opp med ... x ^ 2 + y ^ 2 = 4 Dette er en ligning for en sirkel, (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2, hvor (h, k) er senterets sirkel og r = radius I vårt problem (h, k) er (0,0) og r ^ 2 = 4 sqrt (r ^ 2) = sqrt (4) r = 2 er ligningen av en sirkel med et senter ved (0,0) og en radius på 2. Les mer »

Først finn koeffisientene for x ^ 2 termen, A og y ^ 2 termen, C. A = 2 C = 6 Kjennetegn på en ellipse. A * C> 0 A! = C 2 * 6> 0 True 2! = 6 True Dette er en ellipse. Les mer »

I dette problemet skal vi stole på å fullføre kvadratteknikken for å massere denne ligningen i en ligning som er mer gjenkjennelig. x ^ 2-4x + 4y ^ 2 + 8y = 60 La oss jobbe med x-termen (-4/2) ^ 2 = (- 2) ^ 2 = 4, Vi må legge til 4 på begge sider av ligningen x ^ 2-4x + 4 + 4y ^ 2 + 8y = 60 + 4 x ^ 2-4x + 4 => (x-2) ^ 2 => Perfekt kvadratisk tromom Re-skrivligning: (x-2) ^ 2 + 4y ^ 2 + 8y = 60 + 4 La oss faktor ut en 4 fra y ^ 2 og y-termerne (x-2) ^ 2 + 4 (y ^ 2 + 2y) = 60 + 4 La oss jobbe med y-termen (2 / 2) ^ 2 = (1) ^ 2 = 1, Vi må legge til 1 på begge sider av ligningen, m Les mer »

Denne ligningen er i nær standard fra. Vilkårene må bestilles på nytt. Aks ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 x ^ 2 + xy + y ^ 2-x + 2y = 0 Vi trenger koeffisientene A og C for å bestemme. A = 1 C = 1 A = C 1 = 1 Dette er en sirkel. Les mer »

Ellipse Hvis a, b og 2h er koeffisientene til betingelsene i x ^ 2. y ^ 2 og xy, så representerer den andre gradekvasjonen en ellipsparabola eller hyperbola i henhold til ab-h ^ 2>. = eller <0. Her, ab-h ^ 2 = 225> 0. Likningen kan omorganiseres som (x + 2) ^ 2/9 + (y-1) ^ 2/25 = 1. Ellensens midtpunkt C er (-2,1). Semiakser a = 5 og b = 3. Hovedakse er x = -2 er parallell med y-akse. Eksentrisitet e = sqrt (9 ^ 2-5 ^ 2) / 5 = 2sqrt14 / 5. For foci S og S ', CS = CS' = ae = sqrt14. Foci: (-2, 1 + sqrt14) og (-2,1 -sqrt14) Les mer »

Hyperbel. Sirkel (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 Ellipser (x - h) ^ 2 / a ^ 2 + (y - k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 (x - h ) ^ 2 / b ^ 2 + (y - k) ^ 2 / a ^ 2 = 1 Parabola y - k = 4p (x - h) ^ 2 x - h = 4p (y - k) ^ 2 Hyperbola h) ^ 2 / a ^ 2 - (y - k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 (y - k) ^ 2 / a ^ 2 - (x - h) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Les mer »

Vertikal Hyperbola, senter er (0,0) Det er en vertikal hyperbola fordi 1) Det er en minus mellom 2 variabler 2) Begge variablene er firkantede 3) Ligning er lik 1 4) Hvis y er positiv, x er negativ, vertikal hyperbola som denne grafen {(y ^ 2) / 9 - (x ^ 2) / 16 = 1 [-10, 10, -5, 5]} Les mer »

For ellipser, a> = b (når a = b, vi har en sirkel) a representerer halve lengden på hovedaksen mens b representerer halv lengden på mindre akse. Dette betyr at endepunktene til ellipsens hovedakse er enheter (horisontalt eller vertikalt) fra midten (h, k), mens endepunktene til ellipsens mindre akse er b enheter (vertikalt eller horisontalt)) fra midten. Ellipsefoci kan også fås fra a og b. En ellipsfokus er f enheter (langs hovedaksen) fra ellipse senter hvor f ^ 2 = a ^ 2 - b ^ 2 Eksempel 1: x ^ 2/9 + y ^ 2/25 = 1 a = 5 b = 3 (h, k) = (0, 0) Siden a er under y er hovedaksen vertikal. Så e Les mer »

Endelig oppførsel av en funksjon er oppførselen til grafen av funksjonen f (x) når x nærmer seg positiv uendelighet eller negativ uendelighet. Endelig oppførsel av en funksjon er oppførselen til grafen av funksjonen f (x) når x nærmer seg positiv uendelighet eller negativ uendelighet. Dette bestemmes av graden og den ledende koeffisienten til en polynomialfunksjon. For eksempel i tilfelle y = f (x) = 1 / x, som x -> + - oo, f (x) -> 0. grafer {1 / x [-10, 10, -5, 5]} Men hvis y = f (x) = (3x ^ 2 + 5) / ((x + 2) (x + 7)) som x-> + -oo, y-> 3 grafer {(3x ^ 2 + 5) / ((x + 2) Les mer »

En lineær funksjon modellerer en rett linje som har en konstant helling eller endringstid. Det finnes ulike former for lineære ligninger. Standardform Ax + By = C hvor A, B og C er reelle tall. Hoppskilleformular y = mx + b hvor m er skråningen og b er y-avsporingspunktet Hellingsform (y-y_1) = m (x-x_1) hvor (x_1, y_1) er et hvilket som helst punkt på linjen og m er bakken. Les mer »

Refleksjonen av eksponentiell funksjon på aksen y = x Logaritmer er invers av en eksponentiell funksjon, så for y = a ^ x, vil loggfunksjonen være y = log_ax. Så forteller loggfunksjonen hvilken kraft en må heves til, for å få x. Graf for lx: graf {ln (x) [-10, 10, -5, 5]} Graf av e ^ x: graf {e ^ x [-10, 10, -5, 5]} Les mer »

"Det er ikke mulig" "0 må være i området." "Siden 0 er i området og 0 er et rasjonelt tall, kan vi ikke" "ha dette." "Tenk på det: funksjonen må passere over X-aksen, hvis ikke funksjonen" "ikke ville være kontinuerlig overalt." Les mer »

Vec {a} quad "og" quad vec {b} quad "vil være ortogonalt nøyaktig når:" qquad qquad qquad qquad qquad quad k = -10 / 3. # "Husk at for to vektorer:" qquad vec {a}, vec {b} qquad "vi har:" qquad vec {a} quad "og" quad vec {b} qquad quad " er ortogonale " qquad qquad hArr qquad qquad vec {a} cdot vec {b} = 0." Således: " qquad <-2, 3> quad" og " quad <-5, k> qquad quad "er ortogonale" qquad qquad hArr qquad qquad <-2, 3> cdot <-5, k> = 0 qquad qquad hArr qquad qquad qquad (-2 ) (-5) + (3) (k) Les mer »

A = b = c De generiske termer av en AP-sekvens kan representeres av: sf ({a, a + d, a + 2d}) Vi fortelles at {a, b, c}, og vi merker at hvis vi tar et høyere sikt og trekke fra forrige sikt får vi den vanlige forskjellen; dermed c-b = b-a:. 2b = a + c ..... [A] De generiske termer av en GP-sekvens kan representeres av: sf ({a, ar, ar ^ 2}) Vi blir fortalt at {a ^ 2, b ^ 2, c ^ 2}, og vi merker at hvis vi tar en høyere term og deler ved sin tidligere periode, får vi det felles forholdet, således: c ^ 2 / b ^ 2 = b ^ 2 / a ^ 2 => c / b = b / a (som a, b, c gt 0):. b ^ 2 = ac ..... [B] Ved å Les mer »

"Se forklaring" z ^ 3 - 1 = 0 "er ligningen som gir kubens røtter av" "enhet. Så vi kan bruke teorien om polynomene til å konkludere med at" z_1 * z_2 * z_3 = 1 "(Newtons identiteter )." "Hvis du virkelig vil beregne det og sjekke det:" z ^ 3 - 1 = (z - 1) (z ^ 2 + z + 1) = 0 => z = 1 "OR" z ^ 2 + z + 1 = 0 => z = 1 "OR" z = (-1 pm sqrt (3) i) / 2 => (z_1) * (z_2) * (z_3) = 1 * ((- 1 + sqrt ) / 2) * (- 1-kvadrat (3) i) / 2 = 1 * (1 + 3) / 4 = 1 Les mer »

K = 1/3 Gitt f (x) = klog_2x og f ^ -1 (1) = 8 Vi vet at hvis f ^ -1 (x) = y da f (y) = x. Så i den andre ligningen betyr dette at f (8) = 1 Vi har den første ligningen der, så vi erstatter x = 8 og f (x) = 1 for å få 1 = klog_2 (8) Jeg er sikker på at du vet hva du skal gjøre herfra for å få svaret ovenfor. Hint: - log_xy ^ z = zlog_xy log_x (x) = 1 Les mer »

Svaret er = - (I + p + ......... p ^ (n-1)) Vi vet at p ^ -1p = I I + p + p ^ 2 + p ^ 3 .... .p ^ n = O Multipler begge sider av p ^ -1 p ^ -1 * (1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 ..... p ^ n) = p ^ -1 * 0 p ^ - 1 * 1 + p ^ -1 * p + p ^ -1 * p ^ 2 + ...... p ^ -1 * p ^ n = 0 p ^ -1 + (p ^ -1p) + (p ^ -1 * p * p) + ......... (p ^ -1p * p ^ (n-1)) = O p ^ -1 + (I) + (I * p) +. ........ (I * p ^ (n-1)) = O Derfor p ^ -1 = - (I + p + ......... p ^ (n-1)) Les mer »

5 La de fire vektorene k_1, k_2, k_3 og k_4 danne grunnlaget for vektorglasset K. Siden K er et underrom av V, danner disse fire vektorene et lineært uavhengig sett i V. Siden L er et underrom av V forskjellig fra K , må det være minst ett element, si l_1 i L, som ikke er i K, det vil si, som ikke er en lineær kombinasjon av k_1, k_2, k_3 og k_4. Så er settet {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} et lineært uavhengig sett av vektorer i V. Dermed er dimensionaliteten til V minst 5! Faktisk er det mulig for spekteret av {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} å være hele vektorglasset V - slik at minimumsverdie Les mer »

Scalars are multiplied in. 3A= -2C= To add the vectors, simply add each component separately. 3A+(-2C)= = Les mer »

(-6,4,3) For vektor tillegg, du bare ad tilsvarende komponenter separat. Og vektorsubtraksjon er definert som A-B = A + (- B), hvor -B kan defineres som skalær multiplikasjon av hver komponent med -1. Så i dette tilfellet da -A + B-C = (- 1-2-3,0 + 5-1,3 + 1-1) = (- 6,4,3) Les mer »

Bestemmeren av er M + N = 69 og den av MXN = 200ko En må definere sum og produkt av matriser også. Men det antas her at de er som definert i tekstbøker for 2xx2-matrisen. M + N = [(- 1,2), (- 3, -5)] + [(- 6,4), (2, -4)] = [(- 7,6), (- 1, - 9)] Dermed er dens determinant (-7xx-9) - (- 1xx6) = 63 + 6 = 69 MXN = [(((- 1) xx (-6) + 2xx2), ((- 1) xx4 + 2xx (-4))), ((- 1) xx2 + (- 3) xx (-4)), ((3) xx4 + (- 5) xx (-4))] = [(10, -12 ), (10,8)] Derfor deeminant av MXN = (10xx8 - (- 12) xx10) = 200 Les mer »

Kvadratiske funksjoner har grafer kalt paraboler. Den første grafen av y = x ^ 2 har begge "ender" av grafen som peker oppover. Du vil beskrive dette som på vei mot uendelig. Ledningskoeffisienten (multiplikator på x ^ 2) er et positivt tall, som får parabolen til å åpne oppover. Sammenlign denne oppførselen til den andre grafen, f (x) = -x ^ 2. Begge ender av denne funksjonen peker nedover til negativ uendelighet. Ledningskoeffisienten er negativ denne gangen. Nå, når du ser en kvadratisk funksjon med bly-koeffisienten positiv, kan du forutsi sluttvirkemåten n Les mer »

-24883200 "Dette er determinant av en Vandermonde matrise." "Det er kjent at determinanten er så et produkt av" "forskjellene i basenumrene (det eller tatt til suksessive" "krefter)." "Så her har vi" (6!) (5!) (4!) (3!) (2!) "= 24.883,200" "Det er en forskjell skjønt med Vandermonde matrisen" "og det er at de laveste kreftene er normalt på venstre side av matrisen slik at kolonnene er speilet, gir dette et ekstra "" minustegn til resultatet: "" determinant = -24,883,200 " Les mer »

Du skriver ut den sjette rad av Pascals trekant og foretar de nødvendige utskiftningene. > Pascals trekant er Tallene i femte rad er 1, 5, 10, 10, 5, 1. De er koeffisientene til betingelsene i en femte rekkefølge. (x + y) ^ 5 = x ^ 5 + 5x ^ 4y + 10x ^ 3y ^ 2 + 10x ^ 2y ^ 3 + 5xy ^ 4 + y ^ 5 Men vårt polynom er (x + 2) ^ 5. (x + 2) ^ 5 = x ^ 5 + 5x ^ 4 × 2 + 10x ^ 3 × 2 ^ 2 + 10x ^ 2 × 2 ^ 3 + 5x × 2 ^ 4 + 2 ^ 5 (x + 2) ^ 5 = x ^ 5 + 10x ^ 4 + 40x ^ 3 + 80x ^ 2 + 80x + 32 Les mer »

Som forklart nedenfor I statistikk, når to variabler blir sammenlignet, betyr negativ korrelasjon at når en variabel øker, reduseres den andre eller omvendt. En perfekt negativ korrelasjon er representert ved verdien -1,00, mens en 0,00 indikerer ingen korrelasjon og en +1.00 indikerer en perfekt positiv korrelasjon. En perfekt negativ korrelasjon betyr at forholdet som ser ut til å eksistere mellom to variabler, er negativt 100% av tiden. Les mer »

Før vi begynner å tolke vår hyperbola, ønsker vi å sette den i standardform først. Betydning, vi vil at det skal være i y ^ 2 / a ^ 2 - x ^ 2 / b ^ 2 = 1 form. For å gjøre dette, starter vi ved å dele begge sider med 36, for å få 1 på venstre side. Når det er gjort, bør du ha: y ^ 2/4 - x ^ 2/9 = 1 Når du har dette, kan vi gjøre noen observasjoner: Det er ingen h og k Det er ay ^ 2 / a ^ 2 hyperbola ( som betyr at den har en vertikal transversell akse. Nå kan vi begynne å finne noen ting. Jeg vil veilede deg gjennom hvordan du fi Les mer »

Vennligst se forklaringen nedenfor Den generelle ligningen til en hyperbola er (xh) ^ 2 / a ^ 2- (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Her er ligningen (x-1) ^ 2/2 ^ 2- (y + 2) ^ 2/3 ^ 2 = 1 a = 2 b = 3 c = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = sqrt (4 + 9) = sqrt13 Senteret er C = (h, k) = (1, -2) Hakkene er A = (h + a, k) = (3, -2) og A '= (ha, k) = (- 1, -2) Fokiene er F = + c, k) = (1 + sqrt13, -2) og F '= (hc, k) = (1-sqrt13, -2) Eksentrisiteten er e = c / a = sqrt13 / 2 graf { 1) ^ 2 / 4- (y + 2) ^ 2 / 9-1) = 0 [-14,24, 14,25, -7,12, 7,12]} Les mer »

Ganske mye! Her har vi standard hyperbolisk ligning. (xh) ^ 2 / a ^ 2- (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Senteret er ved (h, k) Halvtransversen er a Halvkonjugataksen er b Gravene i grafen er (h + a, k) og (ha, k) Gradenes fokus er (h + a * e, k) og (ha * e, k) Gradenes retninger er x = h + a / e og x = h - a / e Her er et bilde som skal hjelpe. Les mer »

I følge faktoretningen: Hvis x = a tilfredsstiller polynomet P (x), dersom x = a er en rot av polynomekvasjonen P (x) = 0 så vil (x-a) være en faktor av polynom P (x) Les mer »

Det betyr at a hvis en kontinuerlig funksjon (i et intervall A) tar 2 forskjellige verdier f (a) og f (b) (a, b i A selvsagt), vil det ta alle verdiene mellom f (a) og f (b). For å huske eller forstå det bedre, vær så snill å vite at matematisk ordforråd bruker mange bilder. For eksempel kan du perfekt forestille deg en økende funksjon! Det er det samme her, med mellomliggende kan du forestille deg noe mellom 2 andre ting hvis du vet hva jeg mener. Ikke nøl med å stille spørsmål om det ikke er klart! Les mer »

12,5, 15, 17,5 Sekvensen bruker en sekvens hvor den øker med 2,5 hver gang. For et kort svar der du bare leter etter de neste tre begrepene, kan du bare legge det opp, eller hvis du trenger å finne et svar som for eksempel 135 er i sekvensen, bruker du ligningen: a_n = a_1 + (n- 1) d Så det ville være: a_n = 2.5 + (135-1) 2.5 som tilsvarer farge (blå) (337.5 Jeg håper det hjelper! Les mer »

Dette er en lineær ligning. En lineær ligning er representasjonen av rett linje. Denne spesielle ligningen kalles hellingsavskjæringsform. M i formelen er skråningen. B i formelen er hvor linjen krysser y-aksen, kalles dette y-interceptet. Les mer »

Den kvadratiske formelen bruker koeffisientene til den kvadratiske ligningen i standardform når den er lik null (y = 0). En kvadratisk ligning i standardform ser ut som y = ax ^ 2 + bx + c. Den kvadratiske formelen er x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a), når y = 0. Her er et eksempel på hvordan koeffisientene til den kvadratiske ligningen brukes som variabler i den kvadratiske formel : 0 = 2x ^ 2 + 5x + 3 Dette betyr a = 2, b = 5 og c = 3. Så den kvadratiske formelen blir: x = (-5 + - sqrt (5 ^ 2 - 4 (2) )) / (2 * 2) x = (-5 + - sqrt (25 - 4 (2) (3))) / (2 * 2) x = (-5 + - sqrt (25-24)) / (2 * 2) x = Les mer »

-1,22x, -220x ^ 2,28160x ^ 9, -11264x ^ 10,2048x ^ 11 (ax + b) ^ n = sum_ (r = 0) ^ n (n), (r)) ^ rb ^ (nr) = sum_ (r = 0) ^ n (n!) / (r! (nr!!) (økse) ^ rb ^ (nr) Så, vi vil ha rin {0,1,2,9 , 10,11} (11!) / (0! (11-0)!) (2x) ^ 0 (-1) ^ 11 = 1 (1) (- 1) = - 1 (11!) / ! (11-1)!) (2x) ^ 1 (-1) ^ 10 = 11 (2x) (1) = 22x (11!) / (2 (11-2)!) (2x) ^ 2 -1) ^ 9 = 55 (4x ^ 2) (- 1) = - 220x ^ 2 (11!) / (9! (11-9)!) (2x) ^ 9 (-1) ^ 2 = 55 512x ^ 9) (1) = 28160x ^ 9 (11!) / (10! (11-10)!) (2x) ^ 10 (-1) ^ 1 = 11 (1024x ^ 10) 11264x ^ 10 (11!) / (11! (11-11)!) (2x) ^ 11 (-1) ^ 0 = 1 (2048x ^ 11) (1) = 2048x ^ 11 Dette er de f Les mer »

La oss først gjøre det på den harde måten. Du prøver å finne ut løsningen for n! = 720 Dette betyr 1 * 2 * 3 * ... * n = 720 Du kan dele med alle sammenhengende tall til du ender opp med 1 som følge: 720 // 1 = 720, 720 // 2 = 360,360 // 3 = 120 etc. GC (TI-83): MATH - PRB -! Og prøv noen få tall. Svar: 6 Les mer »

Se nedenfor. I følge faktasetningen, hvis (x-4) er en faktor, så vil f (4) = 0 derfor la f (x) = x ^ 2-3x-4f (4) = 4 ^ 2-3 (4) - 4 = 16-12-4 = 16-16 = 0 derfor (x-4) er en faktor. Les mer »

Endelig oppførsel av kubiske funksjoner, eller en hvilken som helst funksjon med en totalt uvanlig grad, går i motsatt retning. Kubiske funksjoner er funksjoner med en grad på 3 (derav kubisk), noe som er merkelig. Lineære funksjoner og funksjoner med ulige grader har motsatt endeadferd. Formatet for å skrive dette er: x -> oo, f (x) -> oo x -> -oo, f (x) -> - oo For eksempel, for bildet nedenfor, som x går til oo, er y-verdien øker også til uendelig. Men når x nærmer seg -oo, fortsetter y-verdien å redusere; For å teste sluttadferansen til venstre, m& Les mer »

Generelt: For en eksponentiell funksjon hvis eksponent har en tendens til + - oo som x-> oo, har funksjonen en tendens til å være 0o eller 0 som x-> oo. Merk at dette også gjelder for x -> - oo Videre, som eksponenten tilnærmer + -oo, vil minuttendringer i x (typisk) føre til drastiske endringer i verdien av funksjonen. Legg merke til at oppførselen endres for funksjoner der basisen av eksponensiell funksjon, dvs. a i f (x) = a ^ x, er slik at -1 <= a <= 1. De som involverer -1 <= a <0 vil oppføre seg merkelig (da f (x) ikke vil ta på noen ekte verdier, lagre hvo Les mer »

TLDR: Lang versjon: Hvis eksponenten til en kraftfunksjon er negativ, har du to muligheter: Eksponenten er lik eksponenten er merkelig Eksponenten er like: f (x) = x ^ (- n) hvor n er jevn. Alt til negativ kraft betyr den gjensidige av kraften. Dette blir f (x) = 1 / x ^ n. La oss nå se hva som skjer med denne funksjonen, når x er negativt (til venstre for y-aksen) Nivån blir positiv, siden du multipliserer et negativt tall i seg selv en jevn tid. The smallerx er (mer til venstre), jo høyere nevneren vil få. Jo høyere nevnen blir, desto mindre blir resultatet (siden deling med stort antall gir Les mer »

Det er flere spørsmål om grafene og ligningene, men for å få en god skisse av grafen: Du må vite om aksene har blitt rotert. (Du må trenge trigonometri for å få grafen hvis den har vært.) Du må identifisere typen eller typen konisk seksjon. Du må sette ligningen i standardform for sin type. (Vel, du trenger ikke dette for å tegne noe som y = x ^ 2-x, hvis du vil slå deg ned på en skisse basert på at den er en oppadgående parabola med x-avskjærer 0 og 1) Avhengig av type konisk, trenger du annen informasjon avhengig av hvor detaljert du vil Les mer »

Hvis det er kjent med hyperbolas likning, det vil si: (x-x_c) ^ 2 / a ^ 2- (y-y_c) ^ 2 / b ^ 2 = + - 1, kan vi grave hyperbolaene på denne måten: finn sentrum C (x_c, y_c); lag et rektangel med midten i C og med sider 2a og 2b; tegne linjene som går fra de motsatte vinkler av rektangelet (asymptotene); hvis tegnet av 1 er +, enn de to grenene er igjen og til høyre for rektangelen og kryssene er midt på de vertikale sidene, hvis tegnet på 1 er - enn de to grenene er opp og ned av rektangelen og kryssene er midt på de horisontale sidene. Les mer »

(7 + 6i) / (10 + i) = 76/101 + 53 / 101i Vi kan gjøre nevnte reelle ved å multiplisere nevneren med det komplekse konjugatet, således: (7 + 6i) / (10 + i) = + (10i) / (10 + i) * (10-i) / (10-i) "" = ((7 + 6i) "= (70 + 53i +6) / (100 + 1)" "= (76 + 53i) / (100i10i + 10i-i ^ 2) (101) "" = 76/101 + 53 / 101i Les mer »

Vennligst se nedenfor Kardioide kurve er noen ting som en hjerteformet figur (det er hvordan ordet 'cardio' er kommet). Det er stedet for et punkt på omkretsen av en sirkel som beveger seg på en annen sirkel uten å glide. Matematisk er det gitt ved polarligningen r = a (1-costheta), til tider også skrevet som r = 2a (1-costheta). Det vises som vist nedenfor. Les mer »

Det er flere definisjoner av kontinuerlig funksjon, så jeg gir deg flere ... Svært grovt, en kontinuerlig funksjon er en hvis graf kan tegnes uten å løfte pennen fra papiret. Det har ingen diskontinuiteter (hopp). Mye mer formelt: Hvis A sub RR så f (x): A-> RR er kontinuerlig iff AA x i A, delta i RR, delta> 0, EE epsilon i RR, epsilon> 0: AA x_1 i (x - epsilon , x + epsilon) nn A, f (x_1) i (f (x) - delta, f (x) + delta) Det er snarere en munnfull, men betyr i utgangspunktet at f (x) ikke plutselig hopper i verdi.Her er en annen definisjon: Hvis A og B er et sett med en definisjon av  Les mer »

Det er en sekvens av tall som går ned på en vanlig, lineær måte. Et eksempel er 10,9,8,7, ... som går ned 1 hvert trinn eller trinn = -1. Men 1000, 950, 900, 850 ... vil også være en, fordi dette går ned 50 hvert trinn, eller trinn = -50. Disse trinnene kalles "vanlig forskjell". Regel: En aritmetisk sekvens har en konstant forskjell mellom to trinn. Dette kan være positivt, eller (i ditt tilfelle) negativt. Les mer »

En diskontinuerlig funksjon er en funksjon med minst ett punkt der det ikke er kontinuerlig. Det er lim_ (x-> a) f (x) eksisterer heller ikke eller er ikke lik f (a). Et eksempel på en funksjon med en enkel, flyttbar, diskontinuitet ville være: z (x) = {(1, hvis x = 0), (0, hvis x! = 0):} Et eksempel på en patologisk diskontinuerlig funksjon fra RR til RR ville være: r (x) = {(1, "hvis x er rasjonell"), (0, "hvis x er irrasjonell"):} Dette er diskontinuerlig på hvert punkt. Vurder funksjonen q (x) = {(1, "hvis x = 0"), (1 / q, "hvis x = p / q for heltall p, q i Les mer »

En venstre grense betyr grensen til en funksjon som den nærmer seg fra venstre side. På den annen side betyr en høyre grense grensen til en funksjon som den nærmer seg fra høyre side. Når man får en grense for en funksjon når den nærmer seg et tall, er ideen å kontrollere funksjonens oppførsel som den nærmer seg nummeret. Vi erstatter verdier så nært som mulig til nummeret som er nærmet. Det nærmeste nummeret er nummeret som er nærmet seg. Derfor erstatter man vanligvis bare nummeret som blir nærmet for å få grensen. Vi kan Les mer »

Hvis vi har en grense fra under, er det det samme som en grense fra venstre (mer negativ). Vi kan skrive dette som følgende: lim_ (x-> 0 ^ -) f (x) i stedet for den tradisjonelle lim_ (x -> 0) f (x) Dette betyr at vi bare vurderer hva som skjer hvis vi starter med et tall lavere enn vår grenseverdi og nærmer den fra den retningen. Dette er generelt mer interessant med en Piecewise-funksjon. Tenk deg en funksjon som er definert som y = x for x <0 og y = x + 1 for x> 0. Vi kan forestille oss at 0 er et lite hopp. Det skal se slik ut: graf / (2x) + 1/2 + x [-3, 3, -2,5, 3,5] Grensen som x-> 0 fra Les mer »

Logaritmen base b av et tall n er tallet x som når b heves til xth effekt, er den resulterende verdien n log_b n = x <=> b ^ x = n Eksempel: log_2 8 = x => 2 ^ x = 8 => 2 ^ x = 2 ^ 3 => x = 3 log_5 1 = x => 5 ^ x = 1 => 5 ^ x = 5 ^ 0 => x = 0 Les mer »

En logistisk funksjon er en form for sigmoidfunksjon som vanligvis finnes i modellering av befolkningsvekst (se nedenfor). Her er grafen for en typisk logistisk funksjon: Grafen starter ved en viss basepopulasjon og vokser nesten eksponentielt til den begynner å nærme seg befolkningsgrensen pålagt av miljøet. Legg merke til at logistikkmodeller også brukes på en rekke andre områder (f.eks. Nettverksanalyse, etc.), men vekstmodellapplikasjonen er trolig den enkleste å visualisere. Les mer »

En aritmetisk sekvens er en sekvens (liste over tall) som har en felles forskjell (en positiv eller negativ konstant) mellom de påfølgende ordene. Her er noen eksempler på aritmetiske sekvenser: 1.) 7, 14, 21, 28 fordi felles forskjell er 7. 2.) 48, 45, 42, 39 fordi den har en felles forskjell på - 3. Følgende er ikke eksempler på aritmetiske sekvenser: 1.) 2,4,8,16 er ikke fordi forskjellen mellom første og andre sikt er 2, men forskjellen mellom andre og tredje sikt er 4, og forskjellen mellom tredje og fjerde sikt er 8. Ingen vanlig forskjell så det er ikke en aritmetisk sekvens. Les mer »